MATLAB svd()函数的用法

奇异值分解（SVD）是现代数值分析（尤其是数值计算）的最基本和最重要的工具之一，因此在工程实际中有着广泛的应用。

所谓 SVD 分解，具体指的是将 m×n 矩阵 A 表示为 3 个矩阵乘积形式：USV^T。其中，U 为m×m酉矩阵；V 为 n×n 酉矩阵；S 为对角矩阵，其对角线元素为矩阵 A 的奇异值且满足：

s₁≥s₂≥…≥s_r＞_sr+1=…=s_n=0

r 为矩阵 A 的秩。

在 MATLAB 中，这种分解是通过 svd() 函数来实现的。svd() 函数的调用格式及说明如下表所示。

表 1 svd() 函数调用格式及说明

调用格式	说 明
s = svd (A)	返回矩阵 A 的奇异值向量 s
[U,S,V] = svd (A)	返回矩阵 A 的奇异值分解因子 U、S、V
[U,S,V] = svd (A,0)	返回 mxn 矩阵 A 的“经济型”奇异值分解。若 m>n 则只计算出矩阵 U 的前 n 列，矩阵 S 为 nxn 矩阵；否则同 [U,S,V] = svd (A)

【实例】求下列矩阵的 SVD 分解。
MATLAB 程序如下：

>> clear                                 % 清除工作区的变量
>> A=[1 2 3 4;2 5 7 8;3 7 6 9;4 8 9 1];  % 创建矩阵A
>> r=rank(A)                             % 求出矩阵A的秩，与奇异值分解因子S的非零对角元素个数一致
r =
     4
>> [U,S,V]=svd(A)                        % 对矩阵A进行SVD分解，返回A的奇异值分解因子U、S、V
U =
   -0.2456   -0.2080    0.3018   -0.8974
   -0.5448   -0.3165    0.6413    0.4380
   -0.6036   -0.3712   -0.7055    0.0140
   -0.5278    0.8478    0.0045   -0.0506
S =
    21.4089         0         0         0
          0    6.9077         0         0
          0         0    1.7036         0
          0         0         0    0.2024
V =
   -0.2456   0.2080  -0.3018  -0.8974
   -0.5448   0.3165  -0.6413   0.4380
   -0.6036   0.3712   0.7055   0.0140
   -0.5278  -0.8478  -0.0045  -0.0506