MATLAB复数及其运算

复数对于数学本身的发展有着极其重要的意义，MATLAB 提供了丰富的复数函数用于复数运算。

复数的表示

数学上把形如 a+bi（a, b 均为实数）的数称为复数。其中，a 称为实部（real part），记作 Rez=a；b 称为虚部（imaginary part），记作 Imz=b；i 称为虚数单位。

当虚部等于 0（即 b=0），这个复数可以视为实数；当 z 的虚部不等于 0，实部等于 0（即 a=0 且 b≠0）时，z=bi，常称 z 为纯虚数。

【实例】显示复数。MATLAB 程序如下：

>> clear             % 清除工作区的变量
>> 1+2i              % 直接输入复数
ans =
   1.0000 + 2.0000i
>> 2-3i
ans =
   2.0000 - 3.0000i
>> 5+6j
ans =
   5.0000 + 6.0000j
>> 2i
ans =
   0.0000 + 2.0000i
>> -3i
ans =
   0.0000 - 3.0000i

复数的基本元素函数

若存在复数 c₁=a₁+b₁i 和复数 c₂=a₂+b₂i，那么它们的加、减、乘、除运算定义为

c₁+c₂=(a₁+a₂)+(b₁+b₂)i
c₁+c₂=(a₁-a₂)+(b₁-b₂)i
c₁xc₂=(a₁a₂-b₁b₂)+(a₁b₂+b₁a₂)i
c₁/c₂=(a₁a₂+b₁b₂)/(a₁²+b₂²)+(b₁a₂-a₁b₂)/(a₂²+b₂²)i

当两个复数进行二元运算时，MATLAB 将会用上面的法则进行加法、减法、乘法和除法运算。

【实例】复数运算。MATLAB 程序如下：

>> clear             % 清除工作区的变量
>> A=1+2i;           % 创建两个变量A和B，分别赋值为复数
>> B=3+5i;
>> C=A+B             % 复数相加
C =
   4.0000 + 7.0000i
>> C=A-B             % 复数相减
C =
  -2.0000 - 3.0000i
>> C=A*B             % 复数相乘
C =
  -7.0000 +11.0000i
>> C=A/B             % 复数相除
C =
   0.3824 + 0.0294i

MATLAB 提供的复数基本函数及说明如下表所示。

表 1 复数基本函数及说明

名称	说明	名称	说明
abs	模	complex	用实部和虚部构造一个复数
angle	复数的相角	conj	复数的共轭
imag	复数的虚部	real	复数的实部
unwrap	调整矩阵元素的相位	isreal	判断是否为实数矩阵
cplxpair	把复数矩阵排列成复共轭对

复数的操作函数

1) 复数的模

除基本表示方式外，复数还有另一种表达方式，即极坐标表示方式，具体为

z=a+bi =r∠θ

其中，r 代表复数 z 的模，θ 代表辐角。直角坐标中的 a,b 和极坐标 z,θ 之间的关系为：


这里，调用 abs 函数可直接得到复数的模。

【实例】复数求模运算。MATLAB程序如下：

>> clear       % 清除工作区的变量
>> A=1+2i;     % 创建变量A，赋值为复数
>> B=angle(A)  % 求复数的幅角θ
B =
    1.1071
>> C=abs(A)    % 求复数的模
C =
    2.2361

2) 复数的共轭

如果复数 c=a+bi，那么该复数的共轭复数为 d=a-bi。

【实例】复数求共轭运算。MATLAB 程序如下：

>> clear      % 清除工作区的变量
>> A=1+2i;    % 创建变量A，赋值为复数
>> B=real(A)  % 得到复数的实数部分
B =
     1
>> C=imag(A)       % 得到复数的虚数部分
C =
     2
>> D=conj(A)       % 得到复数的共轭复数
D =
   1.0000 - 2.0000i

3) 构造复数

使用函数 complex(a,b) 可以构造复数；直接输入 a+bi 形式的数值，也可以得到复数。

【实例】复数构造运算。MATLAB程序如下：

>> clear             % 清除工作区的变量
>> complex(1,3)      % 使用函数构造复数
ans =
   1.0000 + 3.0000i
>> 1+3i              % 直接输入复数
ans =
   1.0000 + 3.0000i

4) 实数矩阵

若复数矩阵中的元素的虚部均为0，即显示为

c=a+bi

其中，b=0，可以简写为

c=a

则该复数矩阵称为实数矩阵。调用 isreal(X) 函数显示结果为 1，反之显示为 0。单个复数视为单元素复数矩阵处理。

【实例】复数转换为实数运算。MATLAB 程序如下：

>> clear      % 清除工作区的变量
>> A=1+2i;    % 创建变量A，赋值为复数
>> isreal(A)  % 判断复数A是否为实数矩阵
ans =
logical
     0
>> M=1        % 创建变量M，赋值为实数
M =
     1
>> isreal(M)  % 判断M是否为实数矩阵
ans =
logical
     1