MATLAB cond()函数：求条件数（附带实例）

在线性代数中，矩阵 A 的条件数用来度量线性方程 Ax=b 的解对 b 中的误差或不确定性的敏感度，其对应的数学定义是：


根据基础的数学知识，矩阵的条件数总是大于或等于 1。其中，正交矩阵的条件数为 1，奇异矩阵的条件数为 ∞，而病态矩阵的条件数则比较大。

依据条件数的定义，方程解的相对误差可以由下面的不等式来估计。


在 MATLAB 中，利用 cond() 函数可以求矩阵 X 的条件数，其调用格式如下：

C = cond(A)    % 返回 2-范数逆运算的条件数，等于 A 的最大奇异值与最小奇异值之比
C = cond(A,p)     % 返回 p-范数条件数，其中 p 可以是 1、2、Inf 或 'fro'

【实例】以 MATLAB 产生的 Magic 矩阵和 Hilbert 矩阵为例，使用矩阵的条件数来分析对应的线性方程解的精度。在命令行窗口中输入以下语句，并查看输出结果。

1) 数值求解。

>> clear
>> M = magic(3);          % 创建 3×3 的 Magic 矩阵
>> b = ones(3,1);         % 创建一个 3×1 的全为 1 的列向量 b
>> x = M\b;               % 使用左除法求线性方程组 M*x=b 的近似解
>> xinv = inv(M)*b;       % 通过矩阵求逆法求线性方程组 M*x=b 的解
>> ndb = norm(M*x-b);     % 计算解的残差 (M*x-b) 的范数
>> nb = norm(b);          % 计算向量 b 的范数
>> ndx = norm(x-xinv);    % 计算 x 和 xinv 之间差值的范数
>> nx = norm(x);          % 计算近似解 x 的范数
>> chu = ndx/nx            % 计算相对误差（解的相对误差）
chu =
   1.6997e-16
>> cha = cond(M)           % 计算矩阵 M 的条件数，代表最大可能的近似相对误差
cha =
   4.3301
>> chaa = cha*eps          % 计算最大可能的相对误差，cha 为条件数，eps 为机器精度
chaa =
   9.6148e-16
>> chaau = cha*ndb/nb      % 用残差的比例计算最大可能的相对误差
chaau =
     0

由结果可以看出，该矩阵的条件数为 4.3301，这种情况下引起的计算误差是很小的，其误差完全可以接受。

2) 修改矩阵，重新计算求解的精度。在命令行窗口中输入以下语句，并查看输出结果：

>> clear
>> M = hilb(12);          % 创建 12×12 的 Hilbert 矩阵
>> b = ones(12,1);        % 创建一个 12×1 的全为 1 的列向量 b
>> x = M\b;               % 使用左除法求线性方程组 M*x=b 的近似解
% 警告：矩阵接近奇异值，或者缩放不良。结果可能不准确。RCOND = 2.609829e-17
>> xinv = invhilb(12)*b;  % 使用 Hilbert 矩阵的逆矩阵求精确解 xinv
>> ndb = norm(M*x-b);     % 计算解的残差 (M*x-b) 的范数
>> nb = norm(b);          % 计算向量 b 的范数
>> nbx = norm(x-xinv);    % 计算近似解与精确解之间差值的范数
>> nx = norm(x);          % 计算近似解 x 的范数
>> chu = nbx/nx           % 计算相对误差（解的相对误差）
chu =
    0.0733
>> cha = cond(M)          % 计算矩阵 M 的条件数，代表最大可能的近似相对误差
cha =
   1.6212e+16
>> chaa = cha*eps         % 计算最大可能的相对误差，cha 为条件数，eps 为机器精度
chaa =
    3.5997
>> chaau = cha*ndb/nb     % 通过残差计算最大可能的相对误差
chaau =
   3.3642e+07

由结果可以看出，该矩阵的条件数为 1.6212e+16，该矩阵在数学理论中是高度病态的，这样会造成比较大的计算误差。