MATLAB qr()分解函数的用法

矩阵 A 的 QR 分解也叫正交三角分解，即将矩阵 A 表示成一个正交矩阵 Q 与一个上三角矩阵 R 的乘积形式。这种分解在工程技术中的应用最广泛。

在 MATLAB 中，矩阵 A 的 QR 分解函数是 qr()，它的调用格式及说明如下表所示。

表：qr() 函数调用格式及说明

调用格式	说明
[Q,R] = qr(A)	返回正交矩阵 Q 和上三角矩阵 R，Q 和 R 满足 A=QR。若 A 为 mxn 矩阵，则 Q 为 mxm 矩阵，R 为 mxn 矩阵
[Q,R,E] = qr(A)	求得正交矩阵 Q 和上三角矩阵 R。E 为置换矩阵，它使得 R 的对角线元素按绝对值大小降序排 列，满足 AE=QR
[Q,R] = qr(A,0)	产生矩阵 A 的“经济型”分解。若 A 为 mxn 矩阵，且 m>n，则返回 Q 的前 n 列，R 为 nxn 矩阵；否则该函数等价于 [Q,R]=qr(A)
[Q,R,E] = qr(A,0)	产生矩阵 A 的“经济型”分解，E 为置换矩阵，它使得 R 的对角线元素按绝对值大小降序排列，且 A(:, E)=Q*R
R = qr(A)	对稀疏矩阵 A 进行分解，只产生一个上三角矩阵 R，R 为 ATA 的 Cholesky 分解因子，即满足 RTR = ATA
R = qr(A,0)	对稀疏矩阵 A 的“经济型”分解
[C,R]=qr(A,b)	此函数用来计算方程组 Ax=b 的最小二乘解

【实例】对如下矩阵进行 QR 分解。


MATLAB 程序如下：

>> clear                                 % 清除工作区的变量
>> A=[1 2 3 4;2 5 7 8;3 7 6 9;4 8 9 1];  % 创建4行4列矩阵A
>> [Q,R]=qr(A)                           % 对矩阵A进行QR分解，并返回正交矩阵Q和上三角矩阵R
Q =
   -0.1826     0.1543     0.3322    -0.9124
   -0.3651    -0.6172     0.6644     0.2106
   -0.5477    -0.4629    -0.6644    -0.2106
   -0.7303     0.6172     0.0830     0.2807
R =
   -5.4772    -11.8673   -12.9628   -9.3113
         0     -1.0801    -1.0801   -7.8695
         0          0      2.4083    0.7474
         0          0           0   -3.5795