MATLAB interp1()插值函数的用法（附带实例）

插值法是一种古老的数学方法。插值问题的数学定义如下：
1) 先由实验或测量的方法得到函数 y=f(x) 在互异点 x₀，x₁，…，x_n处的数值y₀，y₁，…，y_n，见下图：


2) 然后构造一个函数 ϕ(x) 作为 y=f(x) 的近似表达式，即：

y=f(x)≈ϕ(x)

使得 ϕ(x₀)=y₀，ϕ(x₁)=y₁，…，ϕ(x_n)=y_n。这类问题称为插值问题，y=f(x) 称为被插值函数，ϕ(x) 称为插值函数，x₀，x₁，…，x_n 称为插值节点。

插值的任务是由已知的观测点为物理量建立一个简单、连续的解析模型，以便能根据该模型推测该物理量在非观测点处的特性。

插值包括多项式插值、埃尔米特插值、分段插值与样条插值、三角函数插值、辛克插值等。插值在数据分析、信号处理、图像处理等诸多领域有着十分重要的应用。

当被插值函数 y=f(x) 为一元函数时，为一维插值。MATLAB 使用 interp1() 函数来实现一维插值。

interp1() 函数的调用格式如下：

vq=interp1(x,v,xq)
vq=interp1(x,v,xq,method)

• x 为自变量的取值范围；
• v 为函数值，或者为一个向量，其长度必须与 x 保持一致；
• xq 为插值点向量或数组；
• method 是字符串变量，用来设定插值方法，常用的插值方法如下：
  • 'nearest'：邻近点插值，插值点函数值估计为与该插值点最近的数据点的函数值。
  • 'linear'：线性插值，根据相邻数据点的线性函数估计落在该区域内插值数据点的函数值。
  • 'spline'：三次样条插值。这种方法在相邻数据点间建立三次多项式函数，根据多项式函数确定插值数据点的函数值。
  • 'pchip'或'cubic'：立方插值，通过分段立方埃尔米特插值方法计算插值结果。
  • 'v5cubic'：MATLAB 5 版本中的三次样条插值。

上述几种插值方法的比较如下：

• 邻近点插值方法的速度最快，但平滑性最差。
• 线性插值方法占用的计算机内存比邻近点插值方法的大，运算时间也长；与邻近点插值方法不同的是，其结果是连续的，但顶点处的斜率会改变。
• 三次样条插值方法的运算时间最长，但内存的占用较立方插值方法的小，其插值数据和导数都是连续的。在这几种插值方法中，三次样条插值结果的平滑性最好，但如果输入数据不一致或数据点过近，就可能出现平滑性很差的插值效果。

要选择一种插值方法，需要考虑的因素包括运算时间、占用计算机内存的大小和插值的平滑性。

【实例】利用 interp1() 函数对 y=sinx 进行分段线性插值。在编辑器窗口中编写如下代码：

clear all;
x = 0:2*pi;
y = sin(x);
xx = 0:0.5:2*pi;
yy = interp1(x, y, xx);
plot(x, y, 's', xx, yy)

运行结果如下图所示：