PCA主成分分析法（Python实现）

主成分分析，即 PCA，是一种常见的无监督学习算法，主要用于数据的降维和可视化。主成分分析通过找出数据中的主要成分，即解释数据方差最大的方向，从而达到简化数据复杂性的目的。

下面介绍 PCA 的工作原理。

1) PCA 计算数据集的协方差矩阵。
在统计和概率理论中，协方差矩阵是一个表示几个变量之间协方差的方阵。对于一个数据集，每个变量都有一定的方差，该方差表示该变量数据分散的程度。不同的变量之间也可能存在某种协方差，该协方差表示这两个变量可能以某种方式相关。

协方差矩阵的对角线上的元素是各个变量的方差，非对角线上的元素是对应两个变量的协方差。对于给定的 n 维数据集，其协方差矩阵将是一个 n×n 的矩阵。

例如，对于三个变量 X、Y 和 Z 的数据集，其协方差矩阵可能如下：


式中，var(X)、var(Y) 和 var(Z) 分别代表变量 X、Y 和 Z 的方差，Cov(X, Y)、Cov(X, Z) 和 Cov(Y, Z) 分别代表变量 X、Y 和 Z 之间的协方差。

2) PCA 找到这个协方差矩阵的特征值和特征向量。这些特征向量也被称为主成分，主成分就是我们要找的解释数据方差最大的方向。

3) PCA 按照特征值的大小对这些主成分进行排序，并选择前 k 个主成分。这样，用户就可以用这 k 个主成分代替原来的数据，从而达到降维的目的。

在 Python 中，用户可以使用 Scikit-Learn 库中的 PCA 类实现主成分分析。下面是一个简单的例子：

from sklearn.decomposition import PCA

# 创建一个 PCA 实例，设定要保留的主成分数量为 2
pca = PCA(n_components=2)

# 使用 PCA 对数据进行降维
X_pca = pca.fit_transform(X)

• pca=PCA(n_components=2)：创建一个 PCA 对象。参数 n_components=2 表示用户希望将数据降维到两个主成分上。换句话说，用户想要通过 PCA 降低数据维度，保留数据中的两个主要成分；
• X_pca=pca.fit_transform(X)：首先，对数据 X 进行拟合，找出 PCA 变换需要的参数；然后，使用这些参数对 X 进行变换，将原始数据映射到主成分定义的空间。X_pca 是转换后的数据，其每个数据点现在都是二维的，因为我们选择了两个主成分。