时间复杂度和空间复杂度

《算法是什么》一节提到，解决一个问题的算法可能有多种，这种情况下，我们就必须对这些算法进行取舍，从中挑选出一个“最好”的。

算法本身是不分“好坏”的，所谓“最好”的算法，指的是最适合当前场景的算法。挑选算法时，主要考虑以下两方面因素：

• 执行效率：根据算法所编写的程序，执行时间越短，执行效率就越高；
• 占用的内存空间：不同算法编写出的程序，运行时占用的内存空间也不相同。如果实际场景中仅能使用少量的内存空间，就应该优先选择占用空间最少的算法。

当问题对应的算法数量较少时（比如 2、3 种），我们可以编写出各个算法对应的程序，逐个在机器上运行，记录它们各自的执行时间和占用内存空间的大小，最终挑选出“最好”的算法。如果问题对应的算法数量有很多（比如 10 种，20 种），先前的挑选方式将不再适用，因为将各个算法一一编写成程序的工作量是巨大的，得不偿失。

实际开发中，我们往往采用“预先估值”的方法挑选算法。具体来讲，就是分析各个算法的实现过程（步骤），估算出它们各自的运行时间和占用的内存空间，进而挑选出“最好”的算法。用“预先估算”方式挑选算法时，我们习惯用时间复杂度表示一个算法的运行时间，用空间复杂度表示算法占用存储空间的大小。

接下来，我们就来了解一下如何估算一个算法的时间复杂度和空间复杂度。

时间复杂度

时间复杂度用于表示算法的执行时间。

接下来，我们以《算法是什么》一节中求 n! 的算法为例：

输入 n                 // 接收 n 的值
p <- 1                 // p 的初值置为 1
for i<-1 to n：    // i 的值从 1 一直到 n
    p <- p * i        // 将 p*i 的值赋值给 p
Print p                // 输出 p 的值

计算它的时间复杂度，只需经历以下几个步骤：

1) 统计算法中各个步骤的执行次数

整个算法中共有 5 行伪指令，它们各自的执行次数分别是：

输入 n                 <- 执行 1 次
p <- 1                 <- 执行 1 次
for i<-1 to n：    <- i 的值从 1 遍历到 n，当 i 的值为 n+1 的时候退出循环，总共执行 n+1 次
    p <- p * i         <- i 从 1 到 n 的过程，共执行 n 次
Print p                 <- 执行 1 次

统计算法中所有伪指令执行的总次数，结果为 2*n+4。显然，2*n+4 不是一个固定值，整个表达式值的大小取决于 n 的值。

2*n+4 可以直接作为算法执行时间的估值，也可以对它进行简化，用规范的形式表示算法的运行时间。

2) 简化算法的执行次数

通过统计各个算法中每条伪指令的执行次数，每个算法的运行时间都可以用类似 2*n+4、3*n²+4*n+5 这样的表达式表示。这就产生一个问题，如何比较各个表达式的大小呢？

首先，我们可以尝试对每个表达式进行简化，简化方法是：假设表达式中变量的值无限大时，去除掉那些对表达式结果影响较小的项。以 3*n²+4*n+5 为例，简化过程为：

• 当 n 无限大时，3*n²+4*n 与 3*n²+4*n+5 的值非常接近，是否加 5 对表达式的值影响不大，因此表达式可以简化为 3*n²+4*n；
• 当 n 无限大时，3*n² 的值要远远大于 4*n 的值，它们之间类似于 10000 和 1 之间的关系，因此是否加 4*n 对表达式最终的值影响不大，整个表达式可以简化为 3*n²；
• 当 n 无限大时，n² 的值已经超级大，是否乘 3 对最终结果影响不大，整个表达式可以简化为  n²。

简化表达式的过程可以总结为：

• 去掉表达式中所有的加法常数项，3*n²+4*n+5 中的 5 就是加法常数项；
• 只保留表达式中变量指数最大的项，3*n²+4*n 中 n 的最大指数为 2，所以只保留 3*n²；
• 去掉常数系数，3*n² 中的 3 就是 n² 的常数系数。

基于“n 值无限大”的思想，3*n²+4*n+5 最终可以简化为 n²。无论多么复杂的表达式，都可以采用这种方式进行简化。

3) 大O记法表示时间复杂度

除了用 n 外，一些人还可能会用 a、b、c 等字符作为表达式中的变量。为此，人们逐渐达成了一种共识，即都用 n 作为表达式中的变量，并采用大 O 记法表示算法的执行时间。

采用大 O 记法表示算法的执行时间，直接套用如下的格式即可：

O(频度)

频度指的就是简化后的表达式。

采用大 O 记法，2*n+4 可以用 O(n) 表示，3*n²+4*n+5 可以用O(n2)表示。注意，如果一个算法对应的表达式中没有变量（比如 10，100 等），则用O(1)表示算法的执行时间。

如果一个算法的执行时间最终估算为O(n)，那么该算法的时间复杂度就是O(n)。如下列举了常用的几种时间复杂度以及它们之间的大小关系：

O(1)< O(logn) < O(n) < O(n²) < O(n³) < O(2ⁿ)

O(1)是最小的，对应的算法的执行时间最短，执行效率最高。

空间复杂度

空间复杂度衡量的是算法执行过程占用的内存空间的大小。

比较多个算法占用的内存大小，本质上比较的是各个算法执行过程中额外申请的内存空间的大小。举个简单的例子：

输入 n
A[i...n] = {1...n}    <- 额外申请 n 个空间

根据 n 的值，算法执行时需要申请 n 个整数的内存空间，n 的值越大，额外申请的内存空间就越多。

与时间复杂度的表示方法一样，空间复杂度也采用大 O 记法表示。算法空间复杂度的估算方法是：

• 如果算法中额外申请的内存空间不受用户输入值的影响（是一个固定值），那么该算法的空间复杂度用 O(1) 表示；
• 如果随着输入值 n 的增大，算法申请的存储空间成线性增长，则程序的空间复杂度用 O(n) 表示;
• 如果随着输入值 n 的增大，程序申请的存储空间成 n² 关系增长，则程序的空间复杂度用 O(n²) 表示；
• 如果随着输入值 n 的增大，程序申请的存储空间成 n³ 关系增长，则程序的空间复杂度用 O(n³) 表示；

多数场景中，挑选 "好" 算法往往更注重的是时间复杂度，空间复杂度只要处于一个合理的范围即可。