最长公共子序列（C++实现）

序列的子序列指序列中的一些元素被省略。给定一个序列 x=<x1，x2，…，xm> 及另一个序列 z=<z1，z2，…，zk>，若 x 的索引存在严格递增的序列 <i1，i2，…，ik>，则对于 j=1，2，…，k 及 x_ij=z_j，z 都是 x 的子序列。

例如，z=<a，b，f，c> 的索引序列是 <1，2，4，6>，它是 x=<a，b，c，f，b，c> 的子序列。若 z 既是 x 的子序列，也是 y 的子序列，则称 z 是 x 和 y 的公共子序列。

给定两个序列 x 和 y，求 x 和 y 的最长公共子序列的长度。

• 输入：每个测试用例都包含两个表示给定序列的字符串，序列以任意数量的空格隔开。
• 输出：对于每个测试用例，都单行输出最长公共子序列的长度。

算法设计

本题为最长公共子序列问题：

• 状态表示：dp[i][j] 表示 x1..i 和 y1..j 的最长公共子序列的长度；
• 状态转移：两个序列中的字符 xi 和 yj 可能存在以下两种情况：

1) xi=yj：求解 Xi-1 和 Yj-1 的最长公共子序列的长度加 1，dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1。


2) xi≠yj：可以把 xi 去掉，求解 Xi-1 和 Yj 的最长公共子序列的长度，或者把 yj 去掉，求解 Xi 和 Yj-1 的最长公共子序列的长度，取二者的最大值，dp[i][j]=max（dp[i][j-1]，dp[i-1][j]）。

• 边界条件：dp[i][0]=0，dp[0][j]=0；
• 求解目标：dp[n][m]，n、m分别为两个字符串的长度。

算法实现

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define maxn 100

//最长公共子序列，时间复杂度为O(nm)
int dp[maxn][maxn]; //dp[i][j]表示s1[1..i]和s2[1..j]的最长公共子序列的长度
int main() {
    char s1[100],s2[100];
    while(~scanf("%s%s",s1,s2)) {
        int len1=strlen(s1);
        int len2=strlen(s2);
        for(int i=0;i<=len1;i++) dp[i][0]=0;
        for(int j=0;j<=len2;j++) dp[0][j]=0;
        for(int i=1;i<=len1;i++)
            for(int j=1;j<=len2;j++) {
                for(int k=1;k<=len2;k++) {
                    if(s1[i-1]==s2[j-1]) //字符串的下标实际上从0开始
                        dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
                    else
                        dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i-1][j]);
                }
        }
        printf("%d\n",dp[len1][len2]);
    }
    return 0;
}

运行结果为：

abcfbc abfcab
4

以上算法的时间复杂度和空间复杂度均为 O(nm)，n、m 分别为两个字符串的长度。