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堆排序算法C语言详解

在学习堆排序之前,首先需要了解堆的含义:在含有 n 个元素的序列中,如果序列中的元素满足下面其中一种关系时,此序列可以称之为
  • ki ≤ k2i 且 ki ≤ k2i+1(在 n 个记录的范围内,第 i 个关键字的值小于第 2*i 个关键字,同时也小于第 2*i+1 个关键字)
  • ki ≥ k2i 且 ki ≥ k2i+1(在 n 个记录的范围内,第 i 个关键字的值大于第 2*i 个关键字,同时也大于第 2*i+1 个关键字)

对于堆的定义也可以使用完全二叉树来解释,因为在完全二叉树中第 i 个结点的左孩子恰好是第 2i 个结点,右孩子恰好是 2i+1 个结点。如果该序列可以被称为堆,则使用该序列构建的完全二叉树中,每个根结点的值都必须不小于(或者不大于)左右孩子结点的值。

以无序表{49,38,65,97,76,13,27,49}来讲,其对应的堆用完全二叉树来表示为:


图 3 无序表对应的堆

提示:堆用完全二叉树表示时,其表示方法不唯一,但是可以确定的是树的根结点要么是无序表中的最小值,要么是最大值。

通过将无序表转化为堆,可以直接找到表中最大值或者最小值,然后将其提取出来,令剩余的记录再重建一个堆,取出次大值或者次小值,如此反复执行就可以得到一个有序序列,此过程为堆排序

堆排序过程的代码实现需要解决两个问题:
  1. 如何将得到的无序序列转化为一个堆?
  2. 在输出堆顶元素之后(完全二叉树的树根结点),如何调整剩余元素构建一个新的堆?
首先先解决第 2 个问题。图 3 所示为一个完全二叉树,若去除堆顶元素,即删除二叉树的树根结点,此时用二叉树中最后一个结点 97 代替,如下图所示:


 
此时由于结点 97 比左右孩子结点的值都大,破坏了堆的结构,所以需要进行调整:首先以 堆顶元素 97 同左右子树比较,同值最小的结点交换位置,即 27 和 97 交换位置:


 
由于替代之后破坏了根结点右子树的堆结构,所以需要进行和上述一样的调整,即令 97 同 49 进行交换位置:


 
通过上述的调整,之前被破坏的堆结构又重新建立。从根结点到叶子结点的整个调整的过程,被称为“筛选”

解决第一个问题使用的就是不断筛选的过程,如下图所示,无序表{49,38,65,97,76,13,27,49}初步建立的完全二叉树,如下图所示:


 
在对上图做筛选工作时,规律是从底层结点开始,一直筛选到根结点。对于具有 n 个结点的完全二叉树,筛选工作开始的结点为第 ⌊n/2⌋个结点(此结点后序都是叶子结点,无需筛选)。

所以,对于有 9 个结点的完全二叉树,筛选工作从第 4 个结点 97 开始,由于 97 > 49 ,所以需要相互交换,交换后如下图所示:


 
然后再筛选第 3 个结点 65 ,由于 65 比左右孩子结点都大,则选择一个最小的同 65 进行交换,交换后的结果为:


 
然后筛选第 2 个结点,由于其符合要求,所以不用筛选;最后筛选根结点 49 ,同 13 进行交换,交换后的结果为:


 
交换后,发现破坏了其右子树堆的结构,所以还需要调整,最终调整后的结果为:

所以实现堆排序的完整代码为:
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MAX 9
//单个记录的结构体
typedef struct {
    int key;
}SqNote;
//记录表的结构体
typedef struct {
    SqNote r[MAX];
    int length;
}SqList;
//将以 r[s]为根结点的子树构成堆,堆中每个根结点的值都比其孩子结点的值大
void HeapAdjust(SqList * H,int s,int m){
    SqNote rc=H->r[s];//先对操作位置上的结点数据进行保存,放置后序移动元素丢失。
    //对于第 s 个结点,筛选一直到叶子结点结束
    for (int j=2*s; j<=m; j*=2) {
        //找到值最大的孩子结点
        if (j+1<m && (H->r[j].key<H->r[j+1].key)) {
            j++;
        }
        //如果当前结点比最大的孩子结点的值还大,则不需要对此结点进行筛选,直接略过
        if (!(rc.key<H->r[j].key)) {
            break;
        }
        //如果当前结点的值比孩子结点中最大的值小,则将最大的值移至该结点,由于 rc 记录着该结点的值,所以该结点的值不会丢失
        H->r[s]=H->r[j];
        s=j;//s相当于指针的作用,指向其孩子结点,继续进行筛选
    }
    H->r[s]=rc;//最终需将rc的值添加到正确的位置
}
//交换两个记录的位置
void swap(SqNote *a,SqNote *b){
    int key=a->key;
    a->key=b->key;
    b->key=key;
}
void HeapSort(SqList *H){
    //构建堆的过程
    for (int i=H->length/2; i>0; i--) {
        //对于有孩子结点的根结点进行筛选
        HeapAdjust(H, i, H->length);
    }
    //通过不断地筛选出最大值,同时不断地进行筛选剩余元素
    for (int i=H->length; i>1; i--) {
        //交换过程,即为将选出的最大值进行保存大表的最后,同时用最后位置上的元素进行替换,为下一次筛选做准备
        swap(&(H->r[1]), &(H->r[i]));
        //进行筛选次最大值的工作
        HeapAdjust(H, 1, i-1);
    }
}

int main() {
    SqList * L=(SqList*)malloc(sizeof(SqList));
    L->length=8;
    L->r[1].key=49;
    L->r[2].key=38;
    L->r[3].key=65;
    L->r[4].key=97;
    L->r[5].key=76;
    L->r[6].key=13;
    L->r[7].key=27;
    L->r[8].key=49;
    HeapSort(L);
    for (int i=1; i<=L->length; i++) {
        printf("%d ",L->r[i].key);
    }
    return 0;
}
运行结果为:
13 27 38 49 49 65 76 97

提示:代码中为了体现构建堆和输出堆顶元素后重建堆的过程,堆在构建过程中,采用的是堆的第二种关系,即父亲结点的值比孩子结点的值大;重建堆的过程也是如此。

堆排序在最坏的情况下,其时间复杂度仍为 O(nlogn)。这是相对于快速排序的优点所在。同时堆排序相对于树形选择排序,其只需要一个用于记录交换(rc)的辅助存储空间,比树形选择排序的运行空间更小。

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