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二叉排序树详解（Java实现）

二叉排序树也称为二叉查找树，二叉排序树的查找是一种常用的动态查找方法。

动态查找是指在查找的过程中动态生成表结构，对于给定的关键字，若表中存在该关键字，则返回其位置，表示查找成功，否则插入该关键字的元素。

下面介绍二叉排序树的查找、插入和删除。

二叉排序树的定义与查找

所谓二叉排序树，要么是一棵空二叉树，要么二叉树具有以下性质：
显然，这是一个递归的定义。下图所示为一棵二叉排序树。图中的每个结点是对应元素关键字的值。


图 1 二叉排序树

从图 1 可以看出，图中的每个结点的值都大于其所有左子树结点的值，而小于其所有右子树结点的值。若要查找与二叉树中某个关键字相等的结点，则可以从根结点开始，与给定的关键字比较：
采用二叉树的链式存储结构，二叉排序树的类型定义如下： 
class BTNode {
    int data;
    BTNode lchild, rchild;

    BTNode(int data, BTNode lchild, BTNode rchild) {
        this.data = data;
        this.lchild = lchild;
        this.rchild = rchild;
    }

    BTNode(int data) {
        this.data = data;
        this.lchild = this.rchild = null;
    }

    BTNode() {
    }
}

二叉排序树的查找算法描述如下： 
public class BiSearchTree {
    BTNode root;
    BiSearchTree() {
       root = null;
   }
   public void CreateBiSearchTree(int table[]) {
       for (int i = 0; i < table.length; i++)
           BSTInsert2(table[i]);
   }
   public BTNode BSTSearch(int x) {
       // 二叉排序树的查找，若找到元素 x，则返回指向结点的指针，否则返回 null
       BTNode p = root;
       if (root != null) {
           p = root;
           while (p != null) {
               if (p.data == x) // 若找到，则返回指向该结点的指针
                   return p;
               else if (x < p.data) // 若关键字小于 p 指向的结点的值，则在左子树中查找
                   p = p.lchild;
               else
                   p = p.rchild; // 若关键字大于 p 指向的结点的值，则在右子树中查找
           }
       }
       return null;
   }
}

利用二叉排序树的查找算法的思想，若要查找关键字为 x.key=62 的元素，则从根结点开始，依次将该关键字与二叉树的根结点比较：
如果要查找关键字为 23 的元素，当比较到结点为 12 的元素时，因为关键字 12 对应的结点不存在右子树，所以查找失败，返回 null。

在二叉排序树的查找过程中，查找某个结点的过程正好是走了从根结点到要查找的结点的路径，其比较的次数正好是路径长度 +1，这类似于折半查找，区别在于，由 n 个结点构成的判定树是唯一的，而由 n 个结点构成的二叉排序树则不唯一（与结点的顺序有关）。

例如，如下图所示为两棵二叉排序树，其元素的关键字序列分别是 {57,21,71,12,51,67,76} 和 {12,21,51,57,67,71,76}。


图 2 两种不同形态的二叉排序树

在图 2 中，假设每个元素的查找概率都相等，则左边的树的平均查找长度为：


右边的树的平均查找长度为：


因此，树的平均查找长度与树的形态有关。若二叉排序树有 n 个结点，则在最坏的情况下，平均查找长度为 (n+1)/2。在最好的情况下，平均查找长度为 logn。

二叉排序树的插入操作

二叉排序树的插入操作过程其实就是二叉排序树的建立过程。

二叉树的插入操作从根结点开始，首先要检查当前结点是不是要查找的元素，若是，则不进行插入操作，否则将结点插入查找失败时结点的左指针或右指针处。

在算法的实现过程中，需要设置一个指向下一个要访问结点的双亲结点指针 parent，就是需要记下前驱结点的位置，以便在查找失败时进行插入操作。

假设当前结点指针 cur 为空，则说明查找失败，需要插入结点：
若二叉排序树为空树，则使当前结点成为根结点。在整个二叉排序树的插入过程中，其插入操作都是在叶子结点处进行的。

二叉排序树的插入操作算法描述如下： 
public void BSTInsert(int x)
// 二叉排序树的插入操作，若树中不存在元素 x，则将 x 插入正确的位置
{
    if (root == null) {
        root = new BTNode(x);
        return;
    }
    BTNode parent = root;
    while (true) {
        int e = parent.data;
        if (x < e) {
            if (parent.lchild == null)
                parent.lchild = new BTNode(x);
            else
                parent = parent.lchild;
        } else if (x > e) {
            if (parent.rchild == null)
                parent.rchild = new BTNode(x);
            else
                parent = parent.rchild;
        } else
            return;
        }
    }
}
对于一个关键字序列 {37,32,35,62,82,95,73,12,5}，根据二叉排序树的插入算法的思想，对应的二叉排序树的插入过程如下图所示：


图 5 二叉排序树的插入过程

从图 5 中可以看出，通过中序遍历二叉排序树，可以得到一个关键字有序的序列 {5,12,32,35,37,62,73,82,95}。

因此，构造二叉排序树的过程就是对一个无序的序列排序的过程，且每次插入的结点都是叶子结点，在二叉排序树的插入过程中，不需要移动结点，仅需要移动结点指针，实现起来较为容易。

注意，即使结点相同，插入的结点顺序不同，其二叉排序树的形态也不一样。

二叉排序树的删除操作

在二叉排序树中删除一个结点后，剩下的结点仍然构成一棵二叉排序树，即保持原来的特性。删除二叉排序树中的一个结点可以分为 3 种情况讨论。

假设要删除的结点为 S，由 S 指示，p 指向 S 的双亲结点，设 S 为 p 的左孩子结点。二叉排序树的各种删除情形如下图所示。


图 6 二叉排序树的删除操作的各种情形

1) 如果 S 指向的结点为叶子结点，其左子树和右子树为空，删除叶子结点不会影响树的结构特性，因此只需要修改 p 的指向即可。

2) 如果 S 指向的结点只有左子树或右子树，在删除结点 S 后，只需要将 S 的左子树 SL 或右子树 SR 作为 p 的左孩子，即 p.lchild=s.lchild 或 p.lchid=s.rchild。

3) 如果 S 的左子树和右子树都存在，在删除结点 S 之前，二叉排序树的中序序列为 {…QLQ…XLXYLYSSRP…}，因此，在删除结点 S 之后，有两种方法调整使该二叉树仍然保持原来的性质不变：
通过这两种方法均可以使二叉排序树的性质不变。

二叉排序树的删除操作算法描述如下： 
public boolean BSTDelete(int x)
// 在二叉排序树 T 中存在值为 x 的数据元素时，删除该数据元素结点，并返回 true，否则返回 false
{
    BTNode p = null;
   if (s == null) // 若不存在值为 x 的数据元素，则返回 false
   {
       System.out.println("二叉树为空，不能进行删除操作");
       return false;
   }
   else {
       while (s != null) {
           if (s.data != x)
               p = s;  // 若找到值为 x 的数据元素，则 s 为要删除的结点
           else
               break;
           if (x < s.data) // 若当前元素的值大于 x 的值，则在该结点的左子树中查找并删除
               s = s.lchild;
           else
               s = s.rchild;  // 若当前元素的值小于 x 的值，则在该结点的右子树中查找并删除
       }
   }
   // 从二叉排序树中删除结点 s，并使该二叉排序树的性质不变
   if (s.lchild == null) // 若 s 的左子树为空，则使 s 的右子树成为被删除结点的双亲结点的左子树
   {
       if (p == null)
           root = s.rchild;
       else if (s == p.lchild)
           p.lchild = s.rchild;
       else
           p.rchild = s.rchild;
       return true;
   }
   if (s.rchild == null) // 若 s 的右子树为空，则使 s 的左子树成为被删除结点的双亲结点的左子树
   {
       if (p == null)
           root = s.lchild;
       else if (s == p.lchild)
           p.lchild = s.lchild;
       else
           p.rchild = s.lchild;
       return true;
   }
   // 若 s 的左、右子树都存在，则使 s 的左驱前驱结点代替 s，并使其直接前驱结点的左子树成为其双亲结点的右子树结点
   BTNode x_node = s;
   BTNode y_node = s.lchild;
   while (y_node.rchild != null) {
       x_node = y_node;
       y_node = y_node.rchild;
   }
   s.data = y_node.data;  // 结点 s 被 y_node 取代
   if (x_node != s)  // 如果结点 s 的左孩子结点存在右子树
       x_node.rchild = y_node.lchild;  // 使 y_node 的左子树成为 x_node 的右子树
   else  // 如果结点 s 的左孩子结点不存在右子树
       x_node.lchild = y_node.lchild;  // 使 y_node 的左子树成为 x_node 的左子树
   return true;
}
删除二叉排序树中的任意一个结点后，二叉排序树的性质保持不变。

二叉排序树的应用举例

给定一组元素序列 {37, 32, 35, 62, 82, 95, 73, 12, 5}，利用二叉排序树的插入算法创建一棵二叉排序树，然后查找元素值为32的元素，并删除该元素，然后以中序序列输出该元素序列。

分析：通过给定一组元素值，利用插入算法将元素插入二叉树中构成一棵二叉排序树，然后利用查找算法实现二叉排序树的查找。
public static void main(String args[]) {
    int table[] = {37, 32, 35, 62, 82, 95, 73, 12, 5};
    BiSearchTree S = new BiSearchTree();
    S.CreateBiSearchTree(table);
    BTNode T = S.root;
    System.out.println("中序遍历二叉排序树得到的序列为: ");
    S.InOrderTraverse(T);
    Scanner sc = new Scanner(System.in);
    System.out.println("\n请输入要查找的元素: ");
    int x = Integer.parseInt(sc.nextLine());
    BTNode p = S.BSTSearch(x);
    if (p != null)
        System.out.println("二叉排序树查找，关键字" + x + "存在！");
    else
        System.out.println("查找失败！");
    S.BSTDelete(x);
    System.out.println("删除" + x + "后，二叉排序树的元素序列: ");
    S.InOrderTraverse(T);
}
程序运行结果如下： 
中序遍历二叉排序树得到的序列为：
5 12 32 35 37 62 73 82 95
请输入要查找的元素：62
二叉排序树查找，关键字62存在！
删除62后，二叉排序树的元素序列：
5 12 32 35 37 73 82 95

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