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计数排序算法

通过统计序列中各个元素出现的次数，完成对整个序列的升序或降序排序，这样的排序算法称为计数排序算法。

接下来，我们为您系统地讲解计数排序算法。

计数排序算法的实现思路

假设待排序序列为 {4, 2, 2, 8, 3, 3, 1}，使用计数排序算法完成升序排序的过程为：
1) 找到序列中的最大值（用 max 表示）。对于 {4, 2, 2, 8, 3, 3, 1} 序列来说，最大值是 8。


2) 创建一个长度为 max+1、元素初值全部为 0 的数组（Python 中可以使用列表），为数组中 [1,max] 区域内的各个空间建立索引：
找到序列中的最小值（用 min 表示），作为数组下标为 1 的存储空间的索引；

为某个存储空间建立索引，其实就是为这个存储空间贴上一个独一无二的标签，借助索引（标签），我们可以快速地找到此空间并访问内部的数据。

本例中，待排序的元素都是整数，可以直接将数组下标作为各个存储空间的索引，如下图所示。

对于长度为 max+1 的数组，计数排序算法的实现过程不会用到下标为 0 的数组空间。

3) 统计待排序序列中各个元素的出现次数，存储到以该元素为索引的数组空间中。例如，待排序序列中元素 2 出现了两次，所以索引（下标）为 2 的数组空间中存储 2 。更新后的数组如下图所示：


4) 进一步加工数组中存储的数据。从数组下标为 1 的位置开始，按照如下公式修改数组中存储的元素：

array[i] = array[i-1] + array[i]

其中 i 的取值范围是 [1, max]，修改后的数组为：


5) 遍历待排序列中的元素，以该元素为索引获取数组中存储的值，此值即为序列排序后元素应处的位置。

举个例子，序列中第一个元素是 4，数组中索引 4 对应的值为 6，因此序列排序后元素 4 位于第 6 的位置处，如下图所示：


6) 当确定了一个元素排序后的位置，需要将数组中该元素为索引对应的值减去 1。

例如，我们已经确定了第二个元素 2 在有序序列中位于第 2 个位置，此时将数组下标为 2 处的值减去 1（3-1=2），则数组中第 3 个元素 2 位于有序序列中第 1 的位置上。

以上 6 步就是计数排序算法的整个实现思路，对应的时间复杂度为O(n)。

计数排序算法的具体实现

实现计数排序算法的伪代码如下： 
//计数排序算法，list 为待排序序列
countingSort(list)
    size <- len(list)      // 获取 list 序列中的元素个数=
    max <- getMax(list)    // 找到 list 序列中的最大值
    array[0...max+1] <- 0    // 定义一个长度为 max+1 的数组，
    for j <- 0 to size      // 创建 array[max+1] 并统计各个元素的出现次数
        array[list[j]] <- array[list[j]] + 1
    for i <- 1 to max       // 对 array[max+1] 存储的元素做累加操作
        array[i] <- array[i] + array[i - 1];
    for j <- size to 0 // 根据 array[max+1] 中的累加值，找到各个元素排序后的具体位置
        output[array[list[i]] - 1] = list[i]; // output存储有序序列
        array[list[i]] <- array[list[i]] - 1  // 确定一个元素的位置后，array[max+1] 中相应位置的数值要减 1
    return output[size]

结合伪代码，如下是采用计数排序算法对 {4, 2, 2, 8, 3, 3, 1} 进行升序排序的 C 语言程序： 
#include <stdio.h>
#define N 7       //待排序序列中的元素个数
#define MAX 100   //待排序序列中的最大值不能超过 100
//找到数组中的最大值
int getMax(int list[]) {
    int i, max = list[0];
    for (i = 1; i < N; i++) {
        if (list[i] > max)
            max = list[i];
    }
    return max;
}

void countingSort(int list[]) {
    int i;
    //第 1 步，找到序列中的最大值
    int max = getMax(list);
    //第 2 步，创建一个数组，长度至少为 max+1，并初始化为 0
    int array[MAX] = { 0 };
    int output[N] = { 0 };
    //第 3 步，统计各个元素的出现次数，并存储在相应的位置上
    for (i = 0; i < N; i++) {
        array[list[i]]++;
    }
    //第 4 步，累加 array 数组中的出现次数
    for (i = 1; i <= max; i++) {
        array[i] += array[i - 1];
    }

    //第 5 步，根据 array 数组中的信息，找到各个元素排序后所在位置，存储在 output 数组中
    for (i = N - 1; i >= 0; i--) {
        output[array[list[i]] - 1] = list[i];
        //第 6 步，数组相应位置上的值减1
        array[list[i]]--;
    }

    // 将 output 数组中的数据原封不动地拷贝到 list 数组中
    for (i = 0; i < N; i++) {
        list[i] = output[i];
    }
}

void printlist(int list[]) {
    int i;
    for (i = 0; i < N; ++i) {
        printf("%d ", list[i]);
    }
}

int main() {
    int list[] = { 4, 2, 2, 8, 3, 3, 1 };
    //进行计数排序
    countingSort(list);
    printlist(list);
}

如下是采用计数排序算法对 {4, 2, 2, 8, 3, 3, 1} 进行升序排序的 Java 程序： 
public class Demo {
    //找到数组中的最大值
    public static int getMax(int[] list) {
        int max = list[0];
        for (int i = 1; i < list.length; i++) {
            if (list[i] > max) {
                max = list[i];
            }
        }
        return max;
    }

    public static void countingSort(int[] list) {
        int length = list.length;
        //第 1 步，找到序列中的最大值
        int max = getMax(list);
        //第 2 步，初始化一个 array[max+1]
        int[] array = new int[max + 1];
        int[] output = new int[length];
        //第 3 步，统计各个元素的出现次数，并存储在相应的位置上
        for (int i = 0; i < length; i++) {
            array[list[i]]++;
        }
        // 第 4 步，累加 array 数组中的出现次数
        for (int i = 1; i <= max; i++) {
            array[i] += array[i - 1];
        }
        // 第 5 步，根据 array 数组中的信息，找到各个元素排序后所在位置，存储在 output 数组中
        for (int i = length - 1; i >= 0; i--) {
            output[array[list[i]] - 1] = list[i];
            array[list[i]]--;
        }

        // 将 output 数组中的数据原封不动地拷贝到 list 数组中
        for (int i = 0; i < length; i++) {
            list[i] = output[i];
        }
    }

    public static void printList(int[] list) {
        for (int i = 0; i < list.length; i++) {
            System.out.print(list[i] + " ");
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        // 待排序序列
        int[] list = new int[] { 4, 2, 2, 8, 3, 3, 1 };
        //进行计数排序
        countingSort(list);
        printList(list);
    }
}

如下是采用计数排序算法对 {4, 2, 2, 8, 3, 3, 1} 进行升序排序的 Python 程序： 
list = [4, 2, 2, 8, 3, 3, 1]
length = len(list)
#找到数组中的最大值
def getMax(list):
    max = list[0]
    for i in range(1,length):
        if list[i] > max:
            max = list[i]
    return max
#实现计数排序算法
def countingSort(list):
    #第 1 步，找到序列中的最大值
    max = getMax(list)
    #第 2 步，初始化一个 array[max+1]
    array = [0]*(max+1)
    output = [0]*length
    #第 3 步，统计各个元素的出现次数，并存储在相应的位置上
    for i in range(length):
        array[list[i]] = array[list[i]]+1
    #第 4 步，累加 array 数组中的出现次数
    for i in range(1,max+1):
        array[i] = array[i] + array[i-1]
    #第 5 步，根据 array 数组中的信息，找到各个元素排序后所在位置，存储在 output 数组中
    for i in range(length):
        output[array[list[i]]-1] = list[i];
        array[list[i]] = array[list[i]]-1;
    #将 output 数组中的数据原封不动地拷贝到 list 数组中
    for i in range(length):
        list[i] = output[i];

def printlist(list):
    for i in range(length):
        print(list[i],end=' ')

countingSort(list)
printlist(list)

以上程序的输出结果均为：

1 2 2 3 3 4 8 

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