C++ complex复数类用法详解

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复数是 a+bi 形式的数,其中 a 和 b 是真数,在 C++ 代码中是浮点值,i 是根号 -1。a 被称作复数的实数部分,b 乘以 i 被称作虚数部分

使用复数的程序一般都很专业,例如,复数可以用于电气和电磁理论、数字信号处理,当然也可以用于数学。复数可以用来生成非常复杂的 Mandelbrot 集合和 Julia 集合的分形图。

complex 头文件定义了用于处理复数的功能。complex<T> 模板类型的实例表示的是复数,这里定义了 3 个特化类型:complex<float>、complex<double>、complex<long double>。在这一节中,全部使用 complex<double>,但其他特化类型的操作是基本相同的。

生成表示复数的对象

complex<double> 类型的构造函数接受两个参数,第一个参数是实部的值,第二个部分是虚部的值。例如:
std::complex<double> z1 {2, 5}; // 2 + 5i
std::complex<double> z; // Default parameter values, are 0 so 0 + 0i
它也有拷贝构造函数,因此可以按如下方式复制 z1:
std::complex<double> z2 {z1}; // 2 + 5i
显然,我们需要复数常量以及复数对象,命名空间 std::literals::complex_literals 中定义了 3 个运算符函数,在这个命名空间中,命名空间 literals 和 complex_literals 都是内联定义的。在对  std::literals::complex_literals、std::literals 或 std::complex_literals 使用 using 指令之后,就可以访问用于复数常量的运算符函数。假设使用了一个或多个这种指令,并且 using std::complex 对这一节余下的代码都有效。

运算符 ""i() 函数定义了实部为 0 的 complex<double> 类型的常量。因此,3i 是一个等同于 complex<double>{0,3} 的常量。当然,可以用实部和虚部表示复数。例如:
z = 5.0 + 3i; // z is now complex<double>{5, 3}
这展示了如何定义两部分都是非零值的复数,并顺便说明已经为复数对象实现了赋值运算符。可以对 complex<float> 常量使用后缀if,对 complex<long double> 常量使用后缀il,例如 22if 或 3.5il。这些后缀是由函数 operator""if() 和 operator""il() 定义的。注意,不能写成 1.0+i 或 2.0+il,因为这里的 i 和 il 会被解释为变量名,必须写成 1.0 +li 和 2.0+1.0il。

所有的复数类型都定义了成员函数real()和imag(),它们可以用来访问对象的实部或虚部,或者用提供的参数设置这些部分。例如:
complex<double> z{1.5, -2.5}; // z: 1.5 - 2.5i
z.imag(99); // z: 1.5 + 99.0i
z.real(-4.5); // z: -4.5 + 99.0i
std::cout << "Real part: " << z.real()<< " Imaginary part: " << z.imag()<< std::endl;
// Real part: -4.5 Imaginary part: 99
real() 和 imag() 接受参数的版本什么都不会返回。

有为复数对象实现流的插入和提取的非成员函数模板。当从流中读取一个复数时,它可能只有实部,例如 55,或者括号中只有实部,例如(2.6),或者实部和虚部在由一个逗号隔开的括号中,例如(3,-2)。如果只提供了实部,虚部会为 0。下面是一个示例:
complex<double> z1, z2, z3; // 3 default objects 0+0i
std:: cout << "Enter 3 complex numbers: ";
std::cin >> z1 >> z2 >> z3;    // Read 3 complex numbers
std::cout << " z1 = " << z1 <<" z2 = " << z2 << " z3 = "<< z3 << std::endl;
下面是示例的输入和输出结果:

Enter 3 complex numbers: -4 (6) (-3, 7)
z1 = (-4,0) z2 = (6,0) z3 = (-3,7)

如果输入的一个复数没有括号,就不会有虚部。但是,在括号中可以省略虚部。复数的输出周围总是有括号,虚部即使为 0 也会被输出。

复数的运算

complex 类模板为有复数操作数的二元运算符 +、-、*、/ 及一元 + 和 - 运算符定义了非成员函数。成员函数定义了 +=、-=、*= 和 /=。下面是使用它们的一些示例:
complex<double> z {1,2};    // 1+2i
auto z1 = z + 3.0;  // 4+2i
auto z2 = z*z + (2.0 + 4i); // -1+8i
auto z3 = z1 - z2;  // 5-6i
z3 /= z2;   // 815385-0.523077i
注意,复数对象和数值常量之间的运算需要数值常量是正确的类型。不能将整数常量加到 complex<double> 对象上;为了能够进行这个运算,必须写成 2.0。

复数上的比较和其他运算

一些非成员函数模板可以用来比较两个复数对象相等或不相等。也有 == 和 !=运算可以用来比较复数对象和数值,这里数值会被看作虚部为 0 的复数。为了相等,所有的部分都必须相等,如果操作数的实部或虚部不同,它们就不相等。例如:
complex<double> z1 {3,4};   // 3+4i
complex<double> z2 {4,-3};  // 4-3i
std::cout << std::boolalpha<<(z1 == z2) << " "  // false
<< (z1 != (3.0 + 4i)) << " "  // false
<< (z2 == 4.0 - 3i) << '\n';  // true
注释中的结果很清楚。注意在最后一个比较中,编译器会将 4.0-3i 看作复数。

另一种比较复数的方法是比较它们的量。各部分值和复数的实部及虚部都相同的向量的量和复数相同,是两部分平分和的平方根。非成员函数模板 abs() 接受 complex<T> 类型的参数,并返回一个T类型的量。下面是一个将 abs() 函数应用到前面的代码段中定义的 z1 和 z2 上的示例:
std::cout << std::boolalpha
<< (std::abs(z1) == std::abs(z2))    // true
<< " " <<std::abs(z2 + 4.0 + 9i);    // 10
最后的输出值是 10,因为作为 abs() 的参数的表达式的计算结果是 (8.0+6i);82 和 62 是 100,平方根是 10。
  • norm() 函数模板会返回复数的量的平方。
  • arg() 模板会返回以弧度为单位的相角,是复数 z 对应的 std::atan(z.imag()/z.real())。
  • conj() 函数模板会返回共轭复数,是 a+bi 和 a-bi。
  • polar() 函数模板接受量和相角作为参数,并返回和它们对应的复数对象。
  • prqj() 函数模板返回的复数是复数参数在黎曼球上的投影。

一些非成员函数模板提供了一整套的三角函数,并为复数参数提供了双曲函数。也有用于复数参数的 cmath 版本的函数 exp()、pow()、log()、log10() 和 sqrt()。下面是一个有趣的示例:
complex<double> zc {0.0, std::acos(-1)};
std::cout << (std::exp (zc) +1.0) << '\n'; // (0, 1.22465e-16) or zero near enough
acos(-1) 是 π,所以这揭示了欧拉方程令人震惊的真相,π 和欧拉数 e 是有关联的:e+1=0。
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