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DBSCAN聚类算法简介

DBSCAN(Density—Based Spatial Clustering of Application with Noise)算法是一种典型的基于密度的聚类方法。它将簇定义为密度相连的点的最大集合,能够把具有足够密度的区域划分为簇,并可以在有噪音的空间数据集中发现任意形状的簇。

1. 基本概念

DBSCAN 算法中有两个重要参数:Eps 和 MmPtS。Eps 是定义密度时的邻域半径,MmPts 为定义核心点时的阈值。

在 DBSCAN 算法中将数据点分为以下 3 类。

1)核心点

如果一个对象在其半径 Eps 内含有超过 MmPts 数目的点,则该对象为核心点。

2)边界点

如果一个对象在其半径 Eps 内含有点的数量小于 MinPts,但是该对象落在核心点的邻域内,则该对象为边界点。

3)噪音点

如果一个对象既不是核心点也不是边界点,则该对象为噪音点。

通俗地讲,核心点对应稠密区域内部的点,边界点对应稠密区域边缘的点,而噪音点对应稀疏区域中的点。

在图 1 中,假设 MinPts=5,Eps 如图中箭头线所示,则点 A 为核心点,点 B 为边界点,点 C 为噪音点。点 A 因为在其 Eps 邻域内含有 7 个点,超过了 Eps=5,所以是核心点。

点 E 和点 C 因为在其 Eps 邻域內含有点的个数均少于 5,所以不是核心点;点 B 因为落在了点 A 的 Eps 邻域内,所以点 B 是边界点;点 C 因为没有落在任何核心点的邻域内,所以是噪音点。
DBSCAN算法数据点类型示意
图 1  DBSCAN算法数据点类型示意
进一步来讲,DBSCAN 算法还涉及以下一些概念。
名称 说明
Eps 邻域 简单来讲就是与点的距离小于等于 Eps 的所有点的集合。
直接密度可达 如果点 p 在核心点 q 的 Eps 邻域內,则称数据对象 p 从数据对象 q 出发是直接密度可达的。
密度可达 如果存在数据对象链 是从 关于 Eps 和 MinPts 直接密度可达的,则数据对象 是从数据对象 关于 EpsMinPts 密度可达的。
密度相连 对于对象 p 和对象 q,如果存在核心对象样本 o,使数据对象 p 和对象 q 均从 o 密度可达,则称 p 和 q 密度相连。显然,密度相连具有对称性。
密度聚类簇 由一个核心点和与其密度可达的所有对象构成一个密度聚类簇。
直接密度可达和密度可达示意
图 2  直接密度可达和密度可达示意

在图 2 中,点 a 为核心点,点 b 为边界点,并且因为 a 直接密度可达 b。但是 b 不直接密度可达 a(因为 b 不是一个核心点)。因为 c 直接密度可达 a,a 直接密度可达 b,所以 c 密度可达 b。但是因为 b 不直接密度可达 a,所以 b 不密度可达 c。但是 b 和 c 密度相连。

2. 算法描述

DBSCAN 算法对簇的定义很简单,由密度可达关系导出的最大密度相连的样本集合,即为最终聚类的一个簇。

DBSCAN 算法的簇里面可以有一个或者多个核心点。如果只有一个核心点,则簇里其他的非核心点样本都在这个核心点的 Eps 邻域里。如果有多个核心点,则簇里的任意一个核心点的 Eps 邻域中一定有一个其他的核心点,否则这两个核心点无法密度可达。这些核心点的 Eps 邻域里所有的样本的集合组成一个 DBSCAN 聚类簇。

DBSCAN算法的描述如下。
  • 输入:数据集,邻域半径 Eps,邻域中数据对象数目阈值 MinPts;
  • 输出:密度联通簇。
处理流程如下。

1)从数据集中任意选取一个数据对象点 p;

2)如果对于参数 Eps 和 MinPts,所选取的数据对象点 p 为核心点,则找出所有从 p 密度可达的数据对象点,形成一个簇;

3)如果选取的数据对象点 p 是边缘点,选取另一个数据对象点;

4)重复(2)、(3)步,直到所有点被处理。

DBSCAN 算法的计算复杂的度为 O(n²),n 为数据对象的数目。这种算法对于输入参数 Eps 和 MinPts 是敏感的。

3. 算法实例

下面给出一个样本数据集,如表 1 所示,并对其实施 DBSCAN 算法进行聚类,取 Eps=3,MinPts=3。

表 1 DSCAN算法样本数据集
p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 p9 p10 p11 p12 p13
1 2 2 4 5 6 6 7 9 1 3 5 3
2 1 4 3 8 7 9 9 5 12 12 12 3
数据集中的样本数据在二维空间内的表示如图 3 所示。
直接密度可达和密度可达示意
图 3  直接密度可达和密度可达示意
第一步,顺序扫描数据集的样本点,首先取到 p1(1,2)。

1)计算 p1 的邻域,计算出每一点到 p1 的距离,如 d(p1,p2)=sqrt(1+1)=1.414。

2)根据每个样本点到 p1 的距离,计算出 p1 的 Eps 邻域为 {p1,p2,p3,p13}。

3)因为 p1 的 Eps 邻域含有 4 个点,大于 MinPts(3),所以,p1 为核心点。

4)以 p1 为核心点建立簇 C1,即找出所有从 p1 密度可达的点。

5)p1 邻域内的点都是 p1 直接密度可达的点,所以都属于C1。

6)寻找 p1 密度可达的点,p2 的邻域为 {p1,p2,p3,p4,p13},因为 p1 密度可达 p2,p2 密度可达 p4,所以 p1 密度可达 p4,因此 p4 也属于 C1。

7)p3 的邻域为 {p1,p2,p3,p4,p13},p13的邻域为 {p1,p2,p3,p4,p13},p3 和 p13 都是核心点,但是它们邻域的点都已经在 Cl 中。

8)P4 的邻域为 {p3,p4,p13},为核心点,其邻域内的所有点都已经被处理。

9)此时,以 p1 为核心点出发的那些密度可达的对象都全部处理完毕,得到簇C1,包含点 {p1,p2,p3,p13,p4}。

第二步,继续顺序扫描数据集的样本点,取到p5(5,8)。

1)计算 p5 的邻域,计算出每一点到 p5 的距离,如 d(p1,p8)-sqrt(4+1)=2.236。

2)根据每个样本点到 p5 的距离,计算出p5的Eps邻域为{p5,p6,p7,p8}。

3)因为 p5 的 Eps 邻域含有 4 个点,大于 MinPts(3),所以,p5 为核心点。

4)以 p5 为核心点建立簇 C2,即找出所有从 p5 密度可达的点,可以获得簇 C2,包含点 {p5,p6,p7,p8}。

第三步,继续顺序扫描数据集的样本点,取到 p9(9,5)。

1)计算出 p9 的 Eps 邻域为 {p9},个数小于 MinPts(3),所以 p9 不是核心点。

2)对 p9 处理结束。

第四步,继续顺序扫描数据集的样本点,取到 p10(1,12)。

1)计算出 p10 的 Eps 邻域为 {p10,pll},个数小于 MinPts(3),所以 p10 不是核心点。

2)对 p10 处理结束。

第五步,继续顺序扫描数据集的样本点,取到 p11(3,12)。

1)计算出 p11 的 Eps 邻域为 {p11,p10,p12},个数等于 MinPts(3),所以 p11 是核心点。

2)从 p12 的邻域为 {p12,p11},不是核心点。

3)以 p11 为核心点建立簇 C3,包含点 {p11,p10,p12}。

第六步,继续扫描数据的样本点,p12、p13 都已经被处理过,算法结束。

4. 算法优缺点

和传统的 k-means 算法相比,DBSCAN 算法不需要输入簇数 k 而且可以发现任意形状的聚类簇,同时,在聚类时可以找出异常点。

DBSCAN 算法的主要优点如下。

1)可以对任意形状的稠密数据集进行聚类,而 k-means 之类的聚类算法一般只适用于凸数据集。

2)可以在聚类的同时发现异常点,对数据集中的异常点不敏感。

3)聚类结果没有偏倚,而 k-means 之类的聚类算法的初始值对聚类结果有很大影响。

DBSCAN 算法的主要缺点如下。

1)样本集的密度不均匀、聚类间距差相差很大时,聚类质量较差,这时用 DBSCAN 算法一般不适合。

2)样本集较大时,聚类收敛时间较长,此时可以对搜索最近邻时建立的 KD 树或者球树进行规模限制来进行改进。

3)调试参数比较复杂时,主要需要对距离阈值 Eps,邻域样本数阈值 MinPts 进行联合调参,不同的参数组合对最后的聚类效果有较大影响。

4)对于整个数据集只采用了一组参数。如果数据集中存在不同密度的簇或者嵌套簇,则 DBSCAN 算法不能处理。为了解决这个问题,有人提出了 OPTICS 算法。

5)DBSCAN 算法可过滤噪声点,这同时也是其缺点,这造成了其不适用于某些领域,如对网络安全领域中恶意攻击的判断。

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