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进制详解:二进制、八进制和十六进制

我们平时使用的数字都是由 0~9 共十个数字组成的,例如 1、9、10、297、952 等,一个数字最多能表示九,如果要表示十、十一、二十九、一百等,就需要多个数字组合起来。

例如表示 5+8 的结果,一个数字不够,只能”进位“,用 13 来表示;这时”进一位“相当于十,”进两位“相当于二十。

因为逢十进一(满十进一),也因为只有 0~9 共十个数字,所以叫做十进制(Decimalism)。十进制是在人类社会发展过程中自然形成的,它符合人们的思维习惯,例如人类有十根手指,也有十根脚趾。

进制也就是进位制。进行加法运算时逢X进一(满X进一),进行减法运算时借一当X,这就是X进制,这种进制也就包含X个数字,基数为X。十进制有 0~9 共10个数字,基数为10,在加减法运算中,逢十进一,借一当十。

二进制

我们不妨将思维拓展一下,既然可以用 0~9 共十个数字来表示数值,那么也可以用0、1两个数字来表示数值,这就是二进制(Binary)。例如,数字 0、1、10、111、100、1000001 都是有效的二进制。

在计算机内部,数据都是以二进制的形式存储的,二进制是学习编程必须掌握的基础。本节我们先讲解二进制的概念,下节讲解数据在内存中的存储,让大家学以致用。

二进制加减法和十进制加减法的思想是类似的:
  • 对于十进制,进行加法运算时逢十进一,进行减法运算时借一当十;
  • 对于二进制,进行加法运算时逢二进一,进行减法运算时借一当二。

下面两张示意图详细演示了二进制加减法的运算过程。

1) 二进制加法:1+0=1、1+1=10、11+10=101、111+111=1110

图1:二进制加法示意图

2) 二进制减法:1-0=1、10-1=1、101-11=10、1100-111=101

图2:二进制减法示意图

八进制

除了二进制,C语言还会使用到八进制。

八进制有 0~7 共8个数字,基数为8,加法运算时逢八进一,减法运算时借一当八。例如,数字 0、1、5、7、14、733、67001、25430 都是有效的八进制。

下面两张图详细演示了八进制加减法的运算过程。

1) 八进制加法:3+4=7、5+6=13、75+42=137、2427+567=3216

图3:八进制加法示意图

2) 八进制减法:6-4=2、52-27=23、307-141=146、7430-1451=5757

图4:八进制减法示意图

十六进制

除了二进制和八进制,十六进制也经常使用,甚至比八进制还要频繁。

十六进制中,用A来表示10,B表示11,C表示12,D表示13,E表示14,F表示15,因此有 0~F 共16个数字,基数为16,加法运算时逢16进1,减法运算时借1当16。例如,数字 0、1、6、9、A、D、F、419、EA32、80A3、BC00 都是有效的十六进制。
注意,十六进制中的字母不区分大小写,ABCDEF 也可以写作 abcdef。
下面两张图详细演示了十六进制加减法的运算过程。

1) 十六进制加法:6+7=D、18+BA=D2、595+792=D27、2F87+F8A=3F11

图5:十六进制加法示意图

2) 十六进制减法:D-3=A、52-2F=23、E07-141=CC6、7CA0-1CB1=5FEF

图6:十六进制减法示意图

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