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希尔排序算法

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前面给大家介绍了插入排序算法,通过将待排序序列中的元素逐个插入到有序的子序列中,最终使整个序列变得有序。下图所示的动画演示了插入排序的整个过程:


图 1 插入排序算法

观察动画不难发现,插入排序算法是通过比较元素大小和交换元素存储位置实现排序的,比较大小和移动元素的次数越多,算法的效率就越差。

希尔排序算法又叫缩小增量排序算法,是一种更高效的插入排序算法。和普通的插入排序算法相比,希尔排序算法减少了移动元素和比较元素大小的次数,从而提高了排序效率。

希尔排序算法的实现思路是:
  • 将待排序序列划分成多个子序列,使用普通的插入排序算法对每个子序列进行排序;
  • 按照不同的划分标准,重复执行第一步;
  • 使用普通的插入排序算法对整个序列进行排序。

按照这个思路,我们尝试对 {35, 33, 42, 10, 14, 19, 27, 44} 做升序排序,具体的实现流程是:
1) 间隔 4 个元素,将整个序列划分为 4 个子序列:


采用插入排序算法分别对 {35, 14}、{33, 19}、{42, 27}、{10, 44} 进行排序,最终生成的新序列为:


2) 间隔 2 个元素,再次划分整个序列:


采用插入排序算法分别对 {14, 27, 35, 42} 和 {19, 10, 33, 44} 进行排序:


3) 采用插入排序算法对整个序列进行一次排序,过程如下:

序列的划分方法

待排序序列如何进行划分,划分多少次,都会影响到希尔排序算法的执行效率。

希尔排序算法没有固定的划分标准,这里给大家推荐一种常用的方法,套用如下伪代码:
输入 list           //输入待排序序列
interval <- 1    // 初始值为 1
while interval < length(list) / 3:    // length(list) 表示待排序序列的长度
    interval = interval * 3 + 1
经过计算得出的 interval 的值,就是首次划分序列采用的标准。

后续划分整个序列,套用如下公式:

interval = (interval-1)/3

比如说计算第二次划分序列的标准,只需将第一次划分序列时计算得到的 interval 代入公式,求出的新 interval 值就是第二次采用的划分标准。

希尔排序算法的具体实现

实现希尔排序算法的伪代码如下:
// list 为待排序序列
shell_sort(list):
    len <- length(list)  // 记录 list 序列中的元素个数
    //初始化间隔数为 1
    interval <- 1
    //计算最大间隔数
    while interval < len/3:
        interval <- interval * 3 + 1
    //根据间隔数,不断划分序列,并对各子序列排序
    while interval > 0:
        //对各个子序列做直接插入排序
        for i <- interval to len:
            temp <- list[i]
            j <- i
            while j > interval - 1 && list[j - interval] ≥ temp:
                list[j] <- list[j - interval]
                j <- j - interval
            if j != i:
                list[j] <- temp
        //计算新的间隔数,继续划分序列
        interval <- (interval - 1)/3
return  list

结合伪代码,如下是用希尔排序算法对 {35, 33, 42, 10, 14, 19, 27, 44} 实现升序排序的 C 语言程序:
#include <stdio.h>
#define N 8   //设定待排序序列中的元素个数
//list[N] 为存储待排序序列的数组
void shell_sort(int list[N]) {
    int temp, i, j;
    //初始化间隔数为 1
    int interval = 1;
    //计算最大间隔
    while (interval < N / 3) {
        interval = interval * 3 + 1;
    }
    //根据间隔数,不断划分序列,并对各子序列排序
    while (interval > 0) {
        //对各个子序列做直接插入排序
        for (i = interval; i < N; i++) {
            temp = list[i];
            j = i;
            while (j > interval - 1 && list[j - interval] >= temp) {
                list[j] = list[j - interval];
                j -= interval;
            }
            if(j != i){
                list[j] = temp;
            }
        }
        //计算新的间隔数,继续划分序列
        interval = (interval - 1) / 3;
    }
}
int main() {
    int i;
    int list[N] = { 35,33,42,10,14,19,27,44 };
    //对待排序序列做希尔排序
    shell_sort(list);
    //输出已排序序列
    for (i = 0; i < N; i++) {
        printf("%d ", list[i]);
    }
}

如下是用希尔排序算法对 {35, 33, 42, 10, 14, 19, 27, 44} 实现升序排序的 Java 程序:
public class Demo {
    // list[N] 为存储待排序序列的数组
    public static void shell_sort(int[] list) {
        int length = list.length;
        // 初始化间隔数为 1
        int interval = 1;
        // 计算最大间隔
        while (interval < length / 3) {
            interval = interval * 3 + 1;
        }
        // 根据间隔数,不断划分序列,并对各子序列排序
        while (interval > 0) {
            // 对各个子序列做直接插入排序
            for (int i = interval; i < length; i++) {
                int temp = list[i];
                int j = i;
                while (j > interval - 1 && list[j - interval] >= temp) {
                    list[j] = list[j - interval];
                    j -= interval;
                }
                if (j != i) {
                    list[j] = temp;
                }
            }
            // 计算新的间隔数,继续划分序列
            interval = (interval - 1) / 3;
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] list = { 35, 33, 42, 10, 14, 19, 27, 44 };
        shell_sort(list);
        // 输出已排好序的序列
        for (int i = 0; i < list.length; i++) {
            System.out.print(list[i] + " ");
        }
    }
}

如下是用希尔排序算法对 {35, 33, 42, 10, 14, 19, 27, 44} 实现升序排序的 Python 程序:
#待排序序列
list = [35,33,42,10,14,19,27,44]
def shell_sort():
    length = len(list)
    # 初始化间隔数为 1
    interval = 1
    # 计算最大间隔
    while interval < (int)(length / 3):
        interval = interval * 3 + 1
    # 根据间隔数,不断划分序列,并对各子序列排序
    while interval > 0:
        # 对各个子序列做直接插入排序
        for i in range(interval , length):
            temp = list[i]
            j = i
            while j > interval - 1 and list[j - interval] >= temp:
                list[j] = list[j - interval]
                j = j - interval
            if j != i:
                list[j] = temp
        # 计算新的间隔数,继续划分序列
        interval = (int)((interval - 1)/3)
# 对待排序序列做希尔排序
shell_sort()
# 输出已排好序的序列
for i in list:
    print(i,end=" ")

以上程序的输出结果均为:

10 14 19 27 33 35 42 44

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