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prim算法(普里姆算法)详解

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了解了什么是最小生成树后,本节为您讲解如何用普里姆(prim)算法查找连通网(带权的连通图)中的最小生成树。

普里姆算法查找最小生成树的过程,采用了贪心算法的思想。对于包含 N 个顶点的连通网,普里姆算法每次从连通网中找出一个权值最小的边,这样的操作重复 N-1 次,由 N-1 条权值最小的边组成的生成树就是最小生成树。

那么,如何找出 N-1 条权值最小的边呢?普里姆算法的实现思路是:
  1. 将连通网中的所有顶点分为两类(假设为 A 类和 B 类)。初始状态下,所有顶点位于 B 类;
  2. 选择任意一个顶点,将其从 B 类移动到 A 类;
  3. 从 B 类的所有顶点出发,找出一条连接着 A 类中的某个顶点且权值最小的边,将此边连接着的 A 类中的顶点移动到 B 类;
  4. 重复执行第 3  步,直至 B 类中的所有顶点全部移动到 A 类,恰好可以找到 N-1 条边。

举个例子,下图是一个连通网,使用普里姆算法查找最小生成树,需经历以下几个过程:


图 1 连通网

1) 将图中的所有顶点分为 A 类和 B 类,初始状态下,A = {},B = {A, B, C, D, S, T}。

2) 从 B 类中任选一个顶点,假设选择 S 顶点,将其从 B 类移到 A 类,A = {S},B = {A, B, C, D, T}。从 A 类的 S 顶点出发,到达 B 类中顶点的边有 2 个,分别是 S-A 和 S-C,其中 S-A 边的权值最小,所以选择 S-A 边组成最小生成树,将 A 顶点从 B 类移到 A 类,A = {S, A},B = {B, C, D, T}。


图 2 S-A 边组成最小生成树

3) 从 A 类中的 S、A 顶点出发,到达 B 类中顶点的边有 3 个,分别是 S-C、A-C、A-B,其中 A-C 的权值最小,所以选择 A-C 组成最小生成树,将顶点 C 从 B 类移到 A 类,A = {S, A, C},B = {B, D, T}。


图 3 A-C 边组成最小生成树

4) 从 A 类中的 S、A、C 顶点出发,到达 B 类顶点的边有 S-C、A-B、C-B、C-D,其中 C-D 边的权值最小,所以选择 C-D 组成最小生成树,将顶点 D 从 B 类移到 A 类,A = {S, A, C, D},B = {B, T}。


图 4 C-D 边组成最小生成树

5) 从 A 类中的 S、A、C、D 顶点出发,到达 B 类顶点的边有 A-B、C-B、D-B、D-T,其中 D-B 和 D-T 的权值最小,任选其中的一个,例如选择 D-B 组成最小生成树,将顶点 B 从 B 类移到 A 类,A = {S, A, C, D, B},B = {T}。


图 5 D-B 边组成最小生成树

6) 从 A 类中的 S、A、C、D、B 顶点出发,到达 B 类顶点的边有 B-T、D-T,其中 D-T 的权值最小,选择 D-T 组成最小生成树,将顶点 T 从 B 类移到 A 类,A = {S, A, C, D, B, T},B = {}。


图 6 D-T 边组成最小生成树

7) 由于 B 类中的顶点全部移到了 A 类,因此 S-A、A-C、C-D、D-B、D-T 组成的是一个生成树,而且是一个最小生成树,它的总权值为 17。


图 7 最小生成树

普里姆算法的具体实现

接下来,我们将给出实现普里姆算法的 C、Java、Python 程序,程序中有详尽的注释,您可以借助编译器一边运行程序一边观察程序的执行过程,彻底搞清楚普里姆算法是如何找到最小生成树的。

如下是使用普里姆算法在图 1 所示的连通网中查找最小生成树的 C 语言程序:
#include<stdio.h>
#define V 6    // 记录图中顶点的个数
typedef enum { false, true } bool;
//查找权值最小的、尚未被选择的顶点,key 数组记录了各顶点之间的权值数据,visited数组记录着各个顶点是否已经被选择的信息
int min_Key(int key[], bool visited[])
{
    int min = 2147483647, min_index;  //遍历 key 数组使用,min 记录最小的权值,min_index 记录最小权值关联的顶点
    //遍历 key 数组
    for (int v = 0; v < V; v++) {
        //如果当前顶点为被选择,且对应的权值小于 min 值
        if (visited[v] == false && key[v] < min) {
            //更新  min 的值并记录该顶点的位置
            min = key[v];
            min_index = v;
        }
    }
    //返回最小权值的顶点的位置
    return min_index;
}

//输出最小生成树
void print_MST(int parent[], int cost[V][V])
{
    int minCost = 0;
    printf("最小生成树为:\n");
    //遍历 parent 数组
    for (int i = 1; i < V; i++) {
        //parent 数组下标值表示各个顶点,各个下标对应的值为该顶点的父节点
        printf("%d - %d wight:%d\n", parent[i] + 1, i + 1, cost[i][parent[i]]);//由于数组下标从 0 开始,因此输出时各自 +1
        //统计最小生成树的总权值
        minCost += cost[i][parent[i]];
    }
    printf("总权值为:%d", minCost);
}

//根据用户提供了图的信息(存储在 cost 数组中),寻找最小生成树
void find_MST(int cost[V][V])
{    //key 数组用于记录 B 类顶点到 A 类顶点的权值
    //parent 数组用于记录最小生成树中各个顶点父节点的位置,便于最终生成最小生成树
    //visited 数组用于记录各个顶点属于 A 类还是 B 类
    int parent[V], key[V];
    bool visited[V];

    // 初始化 3 个数组
    for (int i = 0; i < V; i++) {
        key[i] = 2147483647;    // 将 key 数组各个位置设置为无限大的数
        visited[i] = false;     // 所有的顶点全部属于 B 类
        parent[i] = -1;         // 所有顶点都没有父节点
    }
    // 选择 key 数组中第一个顶点,开始寻找最小生成树
    key[0] = 0;  // 该顶点对应的权值设为 0
    parent[0] = -1; // 该顶点没有父节点

    // 对于 V 个顶点的图,最需选择 V-1 条路径,即可构成最小生成树
    for (int x = 0; x < V - 1; x++)
    {
        // 从 key 数组中找到权值最小的顶点所在的位置
        int u = min_Key(key, visited);
        // 该顶点划分到 A 类
        visited[u] = true;

        // 由于新顶点加入 A 类,因此需要更新 key 数组中的数据
        for (int v = 0; v < V; v++)
        {
            // 如果类 B 中存在到下标为 u 的顶点的权值比 key 数组中记录的权值还小,表明新顶点的加入,使得类 B 到类 A 顶点的权值有了更好的选择
            if (cost[u][v] != 0 && visited[v] == false && cost[u][v] < key[v])
            {
                // 更新 parent 数组记录的各个顶点父节点的信息
                parent[v] = u;
                // 更新 key 数组
                key[v] = cost[u][v];
            }
        }
    }
    //根据 parent 记录的各个顶点父节点的信息,输出寻找到的最小生成树
    print_MST(parent, cost);
}

// main function
int main()
{
    int p1, p2;
    int wight;
    int cost[V][V] = { 0 };
    printf("输入图(顶点到顶点的路径和权值):\n");
    while (1) {
        scanf("%d %d", &p1, &p2);
        //如果用户输入 -1 -1,表示输入结束
        if (p1 == -1 && p2 == -1) {
            break;
        }
        scanf("%d", &wight);
        cost[p1 - 1][p2 - 1] = wight;
        cost[p2 - 1][p1 - 1] = wight;
    }
    // 根据用户输入的图的信息,寻找最小生成树
    find_MST(cost);
    return 0;
}

如下是使用普里姆算法在图 1 所示的连通网中查找最小生成树的 Java 程序:
import java.util.Scanner;

public class prim {
    static int V = 6;
    public static int min_Key(int []key,boolean []visited) {
        //遍历 key 数组使用,min 记录最小的权值,min_index 记录最小权值关联的顶点
        int min = 2147483647,min_index = 0;
        //遍历 key 数组
        for (int v = 0; v < V; v++) {
            //如果当前顶点为被选择,且对应的权值小于 min 值
            if (visited[v] == false && key[v] < min) {
                //更新  min 的值并记录该顶点的位置
                min = key[v];
                min_index = v;
            }
        }
        //返回最小权值的顶点的位置
        return min_index;  
    }
  
    public static void print_MST(int []parent, int [][]cost) {
        int minCost = 0;
        System.out.println("最小生成树为:");
        //遍历 parent 数组
        for (int i = 1; i < V; i++) {
            //parent 数组下标值表示各个顶点,各个下标对应的值为该顶点的父节点
            System.out.println((parent[i]+1)+" - "+(i+1)+" wight:"+cost[i][parent[i]]);//由于数组下标从 0 开始,因此输出时各自 +1
            //统计最小生成树的总权值
            minCost += cost[i][parent[i]];
        }
        System.out.print("总权值为:"+minCost);
    }
    public static void find_MST(int [][]cost) {
        //key 数组用于记录 B 类顶点到 A 类顶点的权值
        //parent 数组用于记录最小生成树中各个顶点父节点的位置,便于最终生成最小生成树
        //visited 数组用于记录各个顶点属于 A 类还是 B 类
        int []parent = new int[V];
        int []key = new int[V];
        boolean []visited=new boolean[V];

        // 初始化 3 个数组
        for (int i = 0; i < V; i++) {
            key[i] = 2147483647;    // 将 key 数组各个位置设置为无限大的数
            visited[i] = false;     // 所有的顶点全部属于 B 类
            parent[i] = -1;         // 所有顶点都没有父节点
        }
        // 选择 key 数组中第一个顶点,开始寻找最小生成树
        key[0] = 0;  // 该顶点对应的权值设为 0
        parent[0] = -1; // 该顶点没有父节点

        // 对于 V 个顶点的图,最需选择 V-1 条路径,即可构成最小生成树
        for (int x = 0; x < V - 1; x++)
        {
            // 从 key 数组中找到权值最小的顶点所在的位置
            int u = min_Key(key, visited);
            // 该顶点划分到 A 类
            visited[u] = true;

            // 由于新顶点加入 A 类,因此需要更新 key 数组中的数据
            for (int v = 0; v < V; v++)
            {
                // 如果类 B 中存在到下标为 u 的顶点的权值比 key 数组中记录的权值还小,表明新顶点的加入,使得类 B 到类 A 顶点的权值有了更好的选择
                if (cost[u][v] != 0 && visited[v] == false && cost[u][v] < key[v])
                {
                    // 更新 parent 数组记录的各个顶点父节点的信息
                    parent[v] = u;
                    // 更新 key 数组
                    key[v] = cost[u][v];
                }
            }
        }
        //根据 parent 记录的各个顶点父节点的信息,输出寻找到的最小生成树
        print_MST(parent, cost);
    }
    public static void main(String[] args) {
        int [][]cost = new int[V][V];
        System.out.println("输入图(顶点到顶点的路径和权值):");
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        while (true) {
            int p1 = sc.nextInt();
            int p2 = sc.nextInt();
          //  System.out.println(p1+p2);
            if (p1 == -1 && p2 == -1) {
                break;
            }
            int wight = sc.nextInt();
            cost[p1-1][p2-1] = wight;
            cost[p2-1][p1-1] = wight;
        }
        // 根据用户输入的图的信息,寻找最小生成树
        find_MST(cost);
    }
}

如下是使用普里姆算法在图 1 所示的连通网中查找最小生成树的 Python 程序:
V = 6     #图中顶点的个数

cost = [[0]*V for i in range(V)]
print("输入图(顶点到顶点的路径和权值):")
while True:
    li = input().split()
  
    p1 = int(li[0])
    p2 = int(li[1])
    if p1 == -1 and p2 == -1:
        break
    wight = int(li[2])
    cost[p1-1][p2-1] = wight
    cost[p2-1][p1-1] = wight
#查找权值最小的、尚未被选择的顶点,key 列表记录了各顶点之间的权值数据,visited列表记录着各个顶点是否已经被选择的信息
def min_Key(key,visited):
    #遍历 key 列表使用,min 记录最小的权值,min_index 记录最小权值关联的顶点
    min = float('inf')
    min_index = 0
    #遍历 key 列表
    for v in range(V):
        #如果当前顶点为被选择,且对应的权值小于 min 值
        if visited[v] == False and key[v]<min:
            #更新  min 的值并记录该顶点的位置
            min = key[v]
            min_index=v
    #返回最小权值的顶点的位置
    return min_index
#输出最小生成树
def print_MST(parent,cost):
    minCost=0
    print("最小生成树为:")
    #遍历 parent 列表
    for i in range(1,V):
        #parent 列表下标值表示各个顶点,各个下标对应的值为该顶点的父节点
        print("%d - %d wight:%d"%(parent[i]+1, i+1, cost[i][parent[i]]))
        #统计最小生成树的总权值
        minCost = minCost + cost[i][parent[i]];
    print("总权值为:%d"%(minCost))
#根据用户提供了图的信息(存储在 cost 列表中),寻找最小生成树
def find_MST(cost):
    #key 列表用于记录 B 类顶点到 A 类顶点的权值
    #parent 列表用于记录最小生成树中各个顶点父节点的位置,便于最终生成最小生成树
    #visited 列表用于记录各个顶点属于 A 类还是 B 类
    parent = [-1]*V
    key = [float('inf')]*V
    visited = [False]*V
    # 选择 key 列表中第一个顶点,开始寻找最小生成树
    key[0] = 0
    parent[0]= -1
    # 对于 V 个顶点的图,最需选择 V-1 条路径,即可构成最小生成树
    for x in range(V-1):
        # 从 key 列表中找到权值最小的顶点所在的位置
        u = min_Key(key,visited)
        visited[u] = True
        # 由于新顶点加入 A 类,因此需要更新 key 列表中的数据
        for v in range(V):
            # 如果类 B 中存在到下标为 u 的顶点的权值比 key 列表中记录的权值还小,表明新顶点的加入,使得类 B 到类 A 顶点的权值有了更好的选择
            if cost[u][v] !=0 and visited[v] == False and cost[u][v] < key[v]:
                # 更新 parent 列表记录的各个顶点父节点的信息
                parent[v] = u
                # 更新 key 列表
                key[v] = cost[u][v]
    # 根据 parent 记录的各个顶点父节点的信息,输出寻找到的最小生成树
    print_MST(parent,cost);

find_MST(cost)

图 1 连通网中的顶点 A、B、C、D、S、T 分别用 1~6 的数字表示,上面程序的运行结果均为:

输入图(顶点到顶点的路径和权值):
1 5 7
1 3 3
5 3 8
1 2 6
2 3 4
2 4 2
3 4 3
2 6 5
4 6 2
-1 -1
最小生成树为:
4 - 2 wight:2
1 - 3 wight:3
3 - 4 wight:3
1 - 5 wight:7
4 - 6 wight:2
总权值为:17

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