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归并排序算法

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归并排序算法是在分治算法基础上设计出来的一种排序算法,它可以对指定序列完成升序(由小到大)或降序(由大到小)排序,对应的时间复杂度为O(nlogn)

归并排序算法实现排序的思路是:
  1. 将整个待排序序列划分成多个不可再分的子序列,每个子序列中仅有 1 个元素;
  2. 所有的子序列进行两两合并,合并过程中完成排序操作,最终合并得到的新序列就是有序序列。

举个简单的例子,使用归并排序算法对 {7, 5, 2, 4, 1, 6, 3, 0} 实现升序排序的过程是:
1) 将 {7, 5, 2, 4, 1, 6, 3, 0} 分割成多个子序列,每个子序列中仅包含 1 个元素,分割过程如下所示:


图 1 归并排序算法分割序列的过程

整个序列不断地被一分为二,最终被分割成 {7}、{5}、{2}、{4}、{1}、{6}、{3}、{0} 这几个序列。

2) 将 {7}、{5}、{2}、{4}、{1}、{6}、{3}、{0} 以“两两合并”的方式重新整合为一个有序序列,合并的过程如下图所示:


图 2 归并排序算法整合所有子序列的过程

归并排序算法的具体实现

对比图 1 和图 2 很容易联想到,归并排序算法可以借助递归的思想实现,对应的伪代码如下:
输入 arr[n]                                // 输入要排序的序列
merge_sort(arr[n] , p , q):                // [p , q] 表示对第 p ~ q 区域内的元素进行归并排序
    if p < q :                             // 对 [p , q] 区域不断采用对半分割的方式,最终将整个区域划分为多个仅包含 1 个元素(p==q)的序列
        mid = ⌊(p+q)/2⌋
        merge_sort(arr , p , mid)
        merge_sort(arr , mid+1 , q)
        merge(arr , p , mid , q)          // 调用实现归并过程的代码模块
merge_sort() 用于将整个序列分割成多个子序列,merge() 用来合并这些子序列,合并的实现方式为:
  1. 从 [p, mid] 和 [mid+1, q] 两个区域的元素分别拷贝到 leftarr 和 rightarr 区域。
  2. 从 leftarr 和 rightarr 区域中各个取出第一个元素,比较它们的大小;
  3. 将较小的元素拷贝到 [p, q] 区域,然后从较小元素所在的区域内取出下一个元素,继续进行比较;
  4. 重复执行第 3 步,直至 leftarr 和 rightarr 内的元素全部拷贝到 [p, q] 为止。如果 leftarr 或者 rightarr 有一方为空,则直接将另一方的所有元素依次拷贝到 [p, q] 区域。

对应的伪代码如下:
merge(arr[n] , p , mid , q):                          // 该算法表示将 [p , mid] 和 [mid+1 , q] 做归并操作
    leftnum <- mid - p + 1                            // 统计 [p , mid] 区域内的元素个数
    rightnum <- q - mid                               // 统计 [mid+1 , q] 区域内的元素个数
    leftarr[leftnum] <- arr[p ... mid]                // 分别将两个区域内的元素各自拷贝到另外两个数组中
    rightarr[rightnum] <- arr[mid+1 ... q]
    i <- 1 , j <- 1
    for k <- p to q :             // 从 leftarr 和 rightarr 数组中第 1 个元素开始,比较它们的大小,将较小的元素拷贝到 arr 数组的 [p , q] 区域
        if leftarr[i] ≤ rightarr[j] :
            arr[k] = leftarr[i]
            i <- i+1
        else :
            arr[k] = right[j]
            j <- j+1

结合伪代码,如下是用归并排序算法对 {7, 5, 2, 4, 1, 6, 3, 0} 进行升序排序的 C 语言程序:
#include <stdio.h>
//实现分割操作的函数
void merge_sort(int* arr, int p, int q);
//实现归并操作的函数
void merge(int* arr, int p, int mid, int q);

int main() {
    int i = 0;
    int arr[8] = { 7,5,2,4,1,6,3,0 };
    //对 arr 数组中第 1 至 8 个元素进行归并排序
    merge_sort(arr, 1, 8);
    while (i < 8)
    {
        printf("%d ", arr[i]);
        i++;
    }
    return 0;
}
//实现分割操作的函数,[p,q] 用于指定归并排序的区域范围,
void merge_sort(int* arr, int p, int q) {
    int mid;
    if (arr == NULL || p > q || p == q) {
        return ;
    }
    mid = (p + q) / 2;
    //将 [p,q] 分为[p,mid] 和 [mid+1,q] 区域
    merge_sort(arr, p, mid);
    merge_sort(arr, mid + 1, q);
    //对分好的 [p,mid] 和 [mid,q] 进行归并操作
    merge(arr, p, mid, q);
}
//实现归并操作的函数,归并的 2 个区域分别为 [p,mid] 和 [mid+1,q]
void merge(int* arr, int p, int mid, int q) {
    int i,j,k;
    int leftarr[100], rightarr[100];
    int numL = mid - p + 1;
    int numR = q - mid;
    //将 arr 数组中 [p,mid] 区域内的元素逐一拷贝到 leftarr 数组中
    for (i = 0; i < numL; i++) {
        leftarr[i] = arr[p - 1 + i];
    }
    //将 arr 数组中 [mid+1,q] 区域内的元素逐一拷贝到 rightarr 数组中
    leftarr[i] = 2147483647;
    for (i = 0; i < numR; i++) {
        rightarr[i] = arr[mid + i];
    }
    rightarr[i] = 2147483647;
    i = 0;
    j = 0;
    //逐一比较 leftarr 和 rightarr 中的元素,每次将较小的元素拷贝到 arr 数组中的 [p,q] 区域内
    for (k = p; k <= q; k++) {
        if (leftarr[i] <= rightarr[j]) {
            arr[k - 1] = leftarr[i];
            i++;
        }
        else {
            arr[k - 1] = rightarr[j];
            j++;
        }
    }
}

如下是用归并排序算法对 {7, 5, 2, 4, 1, 6, 3, 0} 进行升序排序的 Java 程序:
public class Demo {
    //实现归并排序算法的分割操作
    public static void merge_sort(int[] arr, int p, int q) {
        // 如果数组不存在或者 [p.q] 区域不合理
        if (arr == null || p >= q) {
            return;
        }
        //对[p,q]区域进行分割
        int mid = (p + q) / 2;
        merge_sort(arr, p, mid);
        merge_sort(arr, mid + 1, q);
        //对分割的 [p,mid] 和 [mid+1,q] 区域进行归并
        merge(arr, p, mid, q);
    }
    //实现归并排序算法的归并操作
    public static void merge(int[] arr, int p, int mid, int q) {
        int numL = mid - p + 1;
        int numR = q - mid;
        //创建 2 个数组,分别存储 [p,mid] 和 [mid+1,q]区域内的元素
        int[] leftarr = new int[numL + 1];
        int[] rightarr = new int[numR + 1];
        int i;
        for (i = 0; i < numL; i++) {
            leftarr[i] = arr[p - 1 + i];
        }
        //将 leftarr 数组中最后一个元素设置为足够大的数。
        leftarr[i] = 2147483647;
        for (i = 0; i < numR; i++) {
            rightarr[i] = arr[mid + i];
        }
        //将 rightarr 数组中最后一个元素设置为足够大的数。
        rightarr[i] = 2147483647;
        int j = 0;
        i = 0;
        //对 leftarr 和 rightarr 数组中存储的 2 个区域的元素做归并操作
        for (int k = p; k <= q; k++) {
            if (leftarr[i] <= rightarr[j]) {
                arr[k - 1] = leftarr[i];
                i++;
            } else {
                arr[k - 1] = rightarr[j];
                j++;
            }
        }
    }
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = new int[] { 7, 5, 2, 4, 1, 6, 3, 0 };
        //对 arr 数组中第 1 至 8 个元素进行归并排序
        merge_sort(arr, 1, 8);
        for (int i : arr) {
            System.out.print(i + " ");
        }
    }
}

如下是用归并排序算法对 {7, 5, 2, 4, 1, 6, 3, 0} 进行升序排序的 Python 程序:
#实现归并排序算法中的分割操作,[p,q]为指定分割区域
def merge_sort(arr,p,q):
    #列表中没有数据,或者 [p,q]区域不存在
    if len(arr) == 1 or p >= q:
        return
    #对 [p,q] 区域进行分割
    mid = int( (p + q) / 2 )
    merge_sort(arr,p,mid)
    merge_sort(arr,mid+1,q)
    #归并 [p,mid] 和 [mid+1,q] 区域
    merge(arr,p,mid,q)
#实现归并排序算法中的归并操作,归并区域为 [p.mid] 和 [mid+1,q]
def merge(arr,p,mid,q):
    numL = mid - p + 1;
    numR = q - mid;
    #分别将 [p,mid] 和 [mid+1,q] 区域内的元素拷贝到 leftarr 和 rightarr 列表中
    leftarr = arr[p-1:p+numL-1]
    rightarr = arr[mid:mid+numR]
    # 2 个列表末尾添加一个足够大的数
    leftarr.append(float('inf'))
    rightarr.append(float('inf'))
    i=0
    j=0
    k=p
    #逐个比较 leftarr 和 rightarr 列表中的元素,每次将较小的元素添加到 arr 列表中的 [p,q] 区域内
    while k <= q:
        if leftarr[i] <= rightarr[j]:
            arr[k-1] = leftarr[i]
            i = i + 1
        else:
            arr[k-1] = rightarr[j]
            j = j + 1
        k = k + 1

arr = [7, 5, 2, 4, 1, 6, 3, 0]
#对 arr 数组中第 1 至 8 个元素做归并排序操作
merge_sort(arr, 1, 8)
print(arr)

以上程序的输出结果均为:

0 1 2 3 4 5 6 7

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