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弗洛伊德算法(求最短路径)

在一个加权图中,如果想找到各个顶点之间的最短路径,可以考虑使用弗洛伊德算法。

弗洛伊德算法既适用于无向加权图,也适用于有向加权图。使用弗洛伊德算法查找最短路径时,只允许环路的权值为负数,其它路径的权值必须为非负数,否则算法执行过程会出错。

弗洛伊德算法的实现思路

弗洛伊德算法是基于动态规划算法实现的,接下来我们以在图 1 所示的有向加权图中查找各个顶点之间的最短路径为例,讲解弗洛伊德算法的实现思路。


图 1 有向加权图

图 1 中不存在环路,且所有路径(边)的权值都为正数,因此可以使用弗洛伊德算法。

弗洛伊德算法查找图 1 中各个顶点之间的最短路径,实现过程如下:
1) 建立一张表格,记录每个顶点直达其它所有顶点的权值:

表 1 各个顶点直达路径的权值
  目标顶点
1 2 3 4
起始顶点 1 0 3 5
2 2 0 4
3 1 0
4 2 0

起始顶点指的是从哪个顶点出发,目标顶点指的是要达到的顶点,例如 2->1 路径的权值是 2,顶点 2 是起始顶点,顶点 1 是目标顶点。此外,∞ 表示无穷大的数,即顶点之间不存在直达的路径。

2) 在表 1 的基础上,将顶点 1 作为 "中间顶点",计算从各个顶点出发途径顶点 1 再到达其它顶点的权值,如果比表 1 中记录的权值更小,证明两个顶点之间存在更短的路径,对表 1 进行更新。

从各个顶点出发,途径顶点 1 再到达其它顶点的路径以及对应的权值分别是:
  • 2-1-3:权值为 2 + ∞ = ∞,表 1 中记录的 2-3 的权值也是 ∞;
  • 2-1-4:权值为 2 + 5 = 7,表 1 中记录的 2-4 的权值是 4;
  • 3-1-2:权值为 ∞ + 3,表 1 中记录的 3-2 的权值是 1;
  • 3-1-4:权值为 ∞ + 5,表 1 中记录的 3-4 的权值是 ∞;
  • 4-1-2:权值为 ∞ + 3,表 1 中记录的 4-2 的权值是 ∞;
  • 4-1-3:权值为 ∞ + ∞,表 1 中记录的 4-3 的权值是 2。 

以上所有的路径中,没有比表 1 中记录的权值最小的路径,所以不需要对表 1 进行更新。

3) 在表 1 的基础上,以顶点 2 作为 "中间顶点",计算从各个顶点出发途径顶点 2 再到达其它顶点的权值:
  • 1-2-3:权值为 3 + ∞,表 1 中记录的 1-3 的权值为 ∞;
  • 1-2-4:权值为 3 + 4 = 7,表 1 中 1-4 的权值为 5;
  • 3-2-1:权值为 1 + 2 = 3,表 1 中 3-1 的权值为 ∞,3 < ∞;
  • 3-2-4:权值为 1 + 4 = 5,表 1 中 3-4 的权值为 ∞,5 < ∞;
  • 4-2-1:权值为 ∞ + 2,表 1 中 4-1 的权值为 ∞;
  • 4-2-3:权值为 ∞ + ∞,表 1 中 4-3 的权值为 2。

以顶点 2 作为 "中间顶点",我们找到了比 3-1、3-4 更短的路径,对表 1 进行更新:

表 2 更新后的 "表 1"
  目标顶点
1 2 3 4
起始顶点 1 0 3 5
2 2 0 4
3 3(3-2-1) 1 0 5(3-2-4)
4 2 0

4) 在表 2 的基础上,将顶点 3 作为 "中间顶点",计算从各个顶点出发途径顶点 3 再到达其它顶点的权值:
  • 1-3-2 权值为 ∞ + 1,表 2 中 1-2 的权值为 3;
  • 1-3-4 权值为 ∞ + 5,表 2 中 1-4 的权值为 5;
  • 2-3-1 权值为 ∞ + 3,表 2 中 2-1 的权值为 2;
  • 2-3-4 权值为 ∞ + 5,表 2 中 2-4 的权值为 4;
  • 4-3-1 权值为 2 + 3 = 5,表 2 中 4-1 的权值为 ∞,5 < ∞;
  • 4-3-2 权值为 2 + 1 = 3,表 2 中 4-2 的权值为 ∞,3 < ∞;

以顶点 3 作为 "中间顶点",我们找到了比 4-1、4-2 更短的路径,对表 2 进行更新:

表 3 更新后的 "表 2"
  目标顶点
1 2 3 4
起始顶点 1 0 3 5
2 2 0 4
3 3(3-2-1) 1 0 5(3-2-4)
4 5(4-3-2-1) 3(4-3-2) 2 0

5) 在表 3 的基础上,将顶点 4 作为 "中间顶点",计算从各个顶点出发途径顶点 4 再到达其它顶点的权值:
  • 1-4-2 权值为 5 + 3 = 8,表 3 中 1-2 的权值为 3;
  • 1-4-3 权值为 5 + 2 = 7,表 3 中 1-3 的权值为 ∞,7 < ∞;
  • 2-4-1 权值为 4 + 5 = 9,表 3 中 2-1 的权值为 2;
  • 2-4-3 权值为 4 + 2 = 6,表 3 中 2-3 的权值为 ∞,6 < ∞;
  • 3-4-1 权值为 4 + 5 = 9,表 3 中 3-1 的权值为 3;
  • 3-4-2 权值为 5 + 5 = 10 ,表 3 中 3-2 的权值为 1。

以顶点 4 作为 "中间顶点",我们找到了比 1-3、2-3 更短的路径,对表 3 进行更新:

表 4 更新后的 "表 3"
  目标顶点
1 2 3 4
起始顶点 1 0 3 7(1-4-3) 5
2 2 0 6(2-4-3) 4
3 3(3-2-1) 1 0 5(3-2-4)
4 5(4-3-2-1) 3(4-3-2) 2 0

通过将所有的顶点分别作为“中间顶点”,最终得到的表 4 就记录了各个顶点之间的最短路径。例如,4-1 的最短路径为 4-3-2-1。

弗洛伊德算法的具体实现

了解了弗洛伊德算法查找最短路径的实现思路后,接下来仍以图 1 为例,分别编写 C、Java、Python 程序实现弗洛伊德算法。

如下是用弗洛伊德算法查找图 1 中各顶点之间最短路径的 C 语言程序:
#include <stdio.h>
#define V 4    //设定图中的顶点数
#define INF 65535   // 设置一个最大值
int P[V][V] = { 0 }; //记录各个顶点之间的最短路径
void printMatrix(int matrix[][V]);  //输出各个顶点之间的最短路径
void printPath(int i, int j); // 递归输出各个顶点之间最短路径的具体线路
void floydWarshall(int graph[][V]); // 实现弗洛伊德算法

int main() {
    // 有向加权图中各个顶点之间的路径信息
    int graph[V][V] = { {0, 3, INF, 5},
                          {2, 0, INF, 4},
                          {INF, 1, 0, INF},
                          {INF, INF, 2, 0} };
    floydWarshall(graph);
}
// 中序递归输出各个顶点之间最短路径的具体线路
void printPath(int i, int j)
{
    int k = P[i][j];
    if (k == 0)
        return;
    printPath(i, k);
    printf("%d-", k + 1);
    printPath(k, j);
}
// 输出各个顶点之间的最短路径
void printMatrix(int graph[][V]) {
    int i, j;
    for (i = 0; i < V; i++) {
        for (j = 0; j < V; j++) {
            if (j == i) {
                continue;
            }
            printf("%d - %d: 最短路径为:", i + 1, j + 1);
            if (graph[i][j] == INF)
                printf("%s\n", "INF");
            else {
                printf("%d", graph[i][j]);
                printf(",依次经过:%d-", i + 1);
                //调用递归函数
                printPath(i, j);
                printf("%d\n", j + 1);
            }
        }
    }
}
// 实现弗洛伊德算法,graph[][V] 为有向加权图
void floydWarshall(int graph[][V]) {
    int  i, j, k;
    //遍历每个顶点,将其作为其它顶点之间的中间顶点,更新 graph 数组
    for (k = 0; k < V; k++) {
        for (i = 0; i < V; i++) {
            for (j = 0; j < V; j++) {
                //如果新的路径比之前记录的更短,则更新 graph 数组
                if (graph[i][k] + graph[k][j] < graph[i][j]) {
                    graph[i][j] = graph[i][k] + graph[k][j];
                    //记录此路径
                    P[i][j] = k;
                }
            }
        }
    }
    // 输出各个顶点之间的最短路径
    printMatrix(graph);
}

如下是用弗洛伊德算法查找图 1 中各顶点之间最短路径的 Java 程序:
public class Floyd {
    static int V = 4; // 顶点的个数
    static int[][] P = new int[V][V]; // 记录各个顶点之间的最短路径
    static int INF = 65535; // 设置一个最大值

    // 中序递归输出各个顶点之间最短路径的具体线路
    public static void printPath(int i, int j) {
        int k = P[i][j];
        if (k == 0)
            return;
        printPath(i, k);
        System.out.print((k + 1) + "-");
        printPath(k, j);
    }

    // 输出各个顶点之间的最短路径
    public static void printMatrix(int[][] graph) {
        for (int i = 0; i < V; i++) {
            for (int j = 0; j < V; j++) {
                if (j == i) {
                    continue;
                }
                System.out.print((i + 1) + " - " + (j + 1) + ":最短路径为:");
                if (graph[i][j] == INF)
                    System.out.println("INF");
                else {
                    System.out.print(graph[i][j]);
                    System.out.print(",依次经过:" + (i + 1) + "-");
                    // 调用递归函数
                    printPath(i, j);
                    System.out.println((j + 1));
                }
            }
        }
    }

    // 实现弗洛伊德算法,graph[][V] 为有向加权图
    public static void floydWarshall(int[][] graph) {
        int i, j, k;
        // 遍历每个顶点,将其作为其它顶点之间的中间顶点,更新 graph 数组
        for (k = 0; k < V; k++) {
            for (i = 0; i < V; i++) {
                for (j = 0; j < V; j++) {
                    // 如果新的路径比之前记录的更短,则更新 graph 数组
                    if (graph[i][k] + graph[k][j] < graph[i][j]) {
                        graph[i][j] = graph[i][k] + graph[k][j];
                        // 记录此路径
                        P[i][j] = k;
                    }
                }
            }
        }
        // 输出各个顶点之间的最短路径
        printMatrix(graph);
    }

    public static void main(String[] args) {
        // 有向加权图中各个顶点之间的路径信息
        int[][] graph = new int[][] { { 0, 3, INF, 5 }, { 2, 0, INF, 4 }, { INF, 1, 0, INF }, { INF, INF, 2, 0 } };
        floydWarshall(graph);
    }
}

如下是用弗洛伊德算法查找图 1 中各顶点之间最短路径的 Python 程序:
V = 4   # 顶点的个数
INF = 65535    # 设定一个最大值
P = [[0]*V for i in range(V)] # 记录各个顶点之间的最短路径
# 有向加权图中各个顶点之间的路径信息
graph = [[0, 3, INF, 5],
         [2, 0, INF, 4],
         [INF, 1, 0, INF],
         [INF, INF, 2, 0]]
# 中序递归输出各个顶点之间最短路径的具体线路
def printPath(i,j):
    k = P[i][j]
    if k == 0:
        return;
    printPath(i , k)
    print("%d-" % (k + 1) , end='')
    printPath(k , j)
# 输出各个顶点之间的最短路径
def printMatrix(graph):
    for i in range(V):
        for j in range(V):
            if j == i:
                continue
            print("%d - %d: 最短路径为:"%(i + 1, j + 1) , end='')
            if graph[i][j] == INF:
                print("INF")
            else:
                print(graph[i][j] , end='')
                print(",依次经过:%d-"%(i+1) , end='')
                # 调用递归函数
                printPath(i , j)
                print(j + 1)
# 实现弗洛伊德算法,graph[][V] 为有向加权图
def floydWarshall(graph):
    # 遍历每个顶点,将其作为其它顶点之间的中间顶点,更新 graph 数组
    for k in range(V):
        for i in range(V):
            for j in range(V):
                # 如果新的路径比之前记录的更短,则更新 graph 数组
                if graph[i][k] + graph[k][j] < graph[i][j]:
                    graph[i][j] = graph[i][k] + graph[k][j]
                    # 记录此路径
                    P[i][j] = k
    # 输出各个顶点之间的最短路径
    printMatrix(graph)

floydWarshall(graph)

以上程序的输出结果均为:

1 - 2: 最短路径为:3,依次经过:1-2
1 - 3: 最短路径为:7,依次经过:1-4-3
1 - 4: 最短路径为:5,依次经过:1-4
2 - 1: 最短路径为:2,依次经过:2-1
2 - 3: 最短路径为:6,依次经过:2-4-3
2 - 4: 最短路径为:4,依次经过:2-4
3 - 1: 最短路径为:3,依次经过:3-2-1
3 - 2: 最短路径为:1,依次经过:3-2
3 - 4: 最短路径为:5,依次经过:3-2-4
4 - 1: 最短路径为:5,依次经过:4-3-2-1
4 - 2: 最短路径为:3,依次经过:4-3-2
4 - 3: 最短路径为:2,依次经过:4-3

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