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斐波那契数列(递归+源码+注释)

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公元 1202 年,意大利数学家莱昂纳多·斐波那契提出了具备以下特征的数列:
  • 前两个数的值分别为 0 、1 或者 1、1;
  • 从第 3 个数字开始,它的值是前两个数字的和;
为了纪念他,人们将满足以上两个特征的数列称为斐波那契数列。

如下就是一个斐波那契数列:

1 1 2 3 5 8 13 21 34......

下面的动画展示了斐波那契数列的生成过程:

图 1 斐波那契数列

很多编程题目要求我们输出指定长度的斐波那契数列,比如输出长度为 6 的斐波那契数列:1 1 2 3 5 8。接下来,我们教大家如何用递归算法解决这个问题。

递归生成斐波那契数列

如下是一个伪代码形式的递归函数(方法),它可以输出斐波那契数列中指定位置处的数字:
fibonacci(n):       // n 表示求数列中第 n 个位置上的数的值
    if n == 1:        // 设置结束递归的限制条件
        return 1
    if n == 2:        // 设置结束递归的限制条件
        return 1
    return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)    // F(n) = F(n-1) + F(n-2)

如果我们想输出长度为 L 的斐波那契数列,需要调用 L 次 fibonacci() 函数。如下是输出斐波那契数列的 C 语言程序:
#include <stdio.h>
// index 表示求数列中第 index 个位置上的数的值
int fibonacci(int index) {
    // 设置结束递归的限制条件
    if (index == 1 || index == 2) {
        return 1;
    }
    // F(index) = F(index-1) + F(index-2)
    return fibonacci(index - 1) + fibonacci(index - 2);
}
int main()
{
    int i;
    // 输出前 10 个数
    for (i = 1; i <= 10; i++) {
        printf("%d ", fibonacci(i));
    }
    return 0;
}

如下是输出斐波那契数列的 Java 程序:
public class Demo {
    // index 表示求数列中第 index 个位置上的数的值
    public static int fibonacci(int index) {
        // 设置结束递归的限制条件
        if (index == 1 || index == 2) {
            return 1;
        }
        // F(index) = F(index-1) + F(index-2)
        return fibonacci(index - 1) + fibonacci(index - 2);
    }
    public static void main(String[] args) {
        // 输出前 10 个数
        for (int i = 1; i <= 10; i++) {
            System.out.print(fibonacci(i) + " ");
        }
    }
}

如下是输出斐波那契数列的 Python 程序:
# index 表示求数列中第 index 个位置上的数的值
def fibonacci(index) :
    # 设置结束递归的限制条件
    if index == 1 or index == 2:
        return 1
    # F(index) = F(index - 1) + F(index - 2)
    return fibonacci(index - 1) + fibonacci(index - 2)
# 输出前 10 个数
for i in range(1, 10) :
    print(fibonacci(i), end = " ")

以上程序的执行结果都是:

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

总结

递归实现斐波那契数列的执行效率是很低的,这与递归的底层实现机制有关,想探究缘由的读者可阅读《递归函数的致命缺陷》一文。如下给大家提供了普通方式实现斐波那契数列的伪代码:
//连续输出长度为 n 的斐波那契数列
fibonacci(n):
    num1 <- 1    // 设置 num1 的初值为 1
    num2 <- 1    // 设置 num2 的初值为 1
    for i<-1 to n:
        Print(num1)              // 输出 num1 的值
        nextNum <- num1 + num2   // 将 num1+num2 的值赋值给 nextNum
        num1 <- num2             // num2 的值赋值给 num1
        num2 <- nextNum          // nextNum 的值赋值给 num2
以非递归方式实现的 fibonacci() 函数,调用一次就可以生成长度为 n 的斐波那契数列,您可以借助此伪代码生成相应的 C、Java 或者 Python 程序。

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